Cálculo de determinantes y sus propiedades

**a) Halle el determinante de la matriz $A$. (0,75 puntos)** Para hallar el determinante de una matriz de orden $3 \times 3$, aplicamos la regla de Sarrus sobre la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos los productos de la diagonal principal y sus paralelas: - $(1 \cdot 0 \cdot (-1)) = 0$ - $(1 \cdot 2 \cdot 0) = 0$ - $((-1) \cdot 1 \cdot 2) = -2$ Calculamos los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas: - $(0 \cdot 0 \cdot (-1)) = 0$ - $(2 \cdot 2 \cdot 1) = 4$ - $((-1) \cdot 1 \cdot 1) = -1$ Operamos siguiendo la regla (suma de directos menos suma de inversos): $$|A| = (0 + 0 - 2) - (0 + 4 - 1)$$ $$|A| = -2 - 3 = -5$$ 💡 **Tip:** La regla de Sarrus es el método más rápido para determinantes $3 \times 3$. Recuerda prestar mucha atención a los signos negativos al restar la segunda parte. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = -5}$$

**b) Halle el determinante de la matriz $3A$. (0,75 puntos)** No es necesario calcular la matriz $3A$. Aplicamos la propiedad de los determinantes que indica que si multiplicamos una matriz de orden $n$ por un número real $k$, el determinante queda multiplicado por $k^n$: $$\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)$$ En este caso, la matriz $A$ es de orden $n=3$ y el escalar es $k=3$. Por tanto: $$\det(3A) = 3^3 \cdot \det(A)$$ Sustituimos el valor de $|A|$ hallado en el apartado anterior: $$|3A| = 27 \cdot (-5)$$ $$|3A| = -135$$ 💡 **Tip:** Es un error común olvidar elevar el número al orden de la matriz. Recuerda que al multiplicar una matriz por $k$, estás multiplicando las $n$ filas, y de cada fila sale un factor $k$ fuera del determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|3A| = -135}$$

**c) Halle el determinante de la matriz $(3A)^3$. (1 punto)** Para este apartado aplicamos la propiedad que establece que el determinante de una potencia es igual a la potencia del determinante: $$\det(M^p) = (\det(M))^p$$ Tomando $M = 3A$ y la potencia $p = 3$, tenemos: $$\det((3A)^3) = (\det(3A))^3$$ Utilizamos el valor obtenido en el apartado b): $$|(3A)^3| = (-135)^3$$ Calculamos la operación final: $$|(3A)^3| = -2.460.375$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es muy útil para evitar elevar matrices a potencias altas, lo cual llevaría mucho tiempo y daría pie a errores de cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|(3A)^3| = -2.460.375}$$