Cálculo de un límite con indeterminación uno elevado a infinito

Para resolver el límite, primero evaluamos la función en el punto $x = 2$ para ver si existe algún valor directo o una indeterminación: $$\lim_{x \to 2} \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{x-2}} = \left( \frac{2}{2} \right)^{\frac{1}{2-2}} = 1^{\frac{1}{0}} = 1^{\infty}$$ Nos encontramos ante una **indeterminación del tipo $1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones de tipo $1^{\infty}$ suelen resolverse aplicando el número $e$ o mediante el uso de logaritmos para poder aplicar la Regla de L'Hôpital.

Llamamos $L$ al valor del límite que queremos calcular: $$L = \lim_{x \to 2} \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{x-2}}$$ Aplicamos logaritmos naturales (neperianos) en ambos lados para bajar el exponente, aprovechando que el logaritmo es una función continua: $$\ln(L) = \ln \left[ \lim_{x \to 2} \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{x-2}} \right] = \lim_{x \to 2} \ln \left[ \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{x-2}} \right]$$ Usando la propiedad de los logaritmos $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$: $$\ln(L) = \lim_{x \to 2} \left[ \frac{1}{x-2} \cdot \ln\left( \frac{x}{2} \right) \right] = \lim_{x \to 2} \frac{\ln\left(\frac{x}{2}\right)}{x-2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$, aunque en este caso es más directo derivar la función compuesta.

Evaluamos el nuevo límite obtenido para $\ln(L)$: $$\lim_{x \to 2} \frac{\ln\left(\frac{x}{2}\right)}{x-2} = \frac{\ln(1)}{2-2} = \frac{0}{0}$$ Como tenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ y las funciones son derivables cerca de $x=2$, aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $\left[ \ln\left(\frac{x}{2}\right) \right]' = \frac{1}{x/2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{x}$ - Derivada del denominador: $[x-2]' = 1$ Sustituimos en el límite: $$\ln(L) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x}$$ Calculamos el valor del límite sustituyendo $x=2$: $$\ln(L) = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista.

Una vez hallado el valor de $\ln(L)$, despejamos $L$ aplicando la función inversa (la exponencial): $$\ln(L) = \frac{1}{2} \implies L = e^{\frac{1}{2}}$$ Podemos expresar el resultado en forma de raíz: $$L = \sqrt{e}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 2} \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{x-2}} = \sqrt{e}}$$