Estudio de una función cúbica: Máximo relativo, recta tangente y área

**a) Determine la recta tangente en el punto en que la función alcanza su máximo relativo. (1 punto)** Para encontrar el máximo relativo, primero calculamos la primera y segunda derivada de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$: $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$ $$f''(x) = 6x - 6$$ Los puntos críticos ocurren donde $f'(x) = 0$: $$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos posibles puntos: **$x = 0$** y **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que los extremos relativos de una función derivable se encuentran entre las soluciones de $f'(x) = 0$.

Estudiamos el signo de la primera derivada para determinar cuál de los puntos es un máximo relativo: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ En $x = 0$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos la ordenada del punto: $$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$$ El punto de tangencia es **$(0, 1)$**. 💡 **Tip:** También podrías usar el criterio de la segunda derivada: $f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \lt 0$, lo que confirma que en $x=0$ hay un máximo relativo.

La ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Como el punto es un máximo relativo, sabemos que la pendiente de la tangente es cero ($f'(0) = 0$): $$y - 1 = 0(x - 0) \implies y = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 1}$$

**b) Dibuje el recinto limitado por la curva y la recta tangente anterior. (0,5 puntos)** Para dibujar el recinto, necesitamos los puntos de corte entre la curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ y la recta $y = 1$: $$x^3 - 3x^2 + 1 = 1 \implies x^3 - 3x^2 = 0 \implies x^2(x - 3) = 0$$ Los puntos de corte son $x = 0$ (donde es tangente) y $x = 3$. El recinto está comprendido en el intervalo $[0, 3]$. En este intervalo, la recta $y=1$ está por encima de la curva $y=x^3-3x^2+1$ (ya que en $x=1$, $f(1)=-1 < 1$).

**c) Halle el área del recinto del apartado b). (1 punto)** El área viene dada por la integral definida entre los puntos de corte de la función "techo" menos la función "suelo": $$A = \int_{0}^{3} [1 - (x^3 - 3x^2 + 1)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{3} (1 - x^3 + 3x^2 - 1) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^3 + 3x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^3 + 3x^2) \, dx = -\frac{x^4}{4} + x^3$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{3^4}{4} + 3^3 \right) - (0)$$ $$A = -\frac{81}{4} + 27 = \frac{-81 + 108}{4} = \frac{27}{4} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un valor negativo, revisa cuál es la función que está por encima en el intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 6.75 \text{ u}^2}$$