Área de un triángulo formado por la intersección de un plano con los ejes

Para hallar los vértices del triángulo, debemos encontrar los puntos de intersección del plano $\pi: x + y - 2z - 1 = 0$ con cada uno de los tres ejes coordenados. * **Intersección con el eje OX ($y=0, z=0$):** $$x + 0 - 2(0) - 1 = 0 \implies x = 1 \implies A(1, 0, 0)$$ * **Intersección con el eje OY ($x=0, z=0$):** $$0 + y - 2(0) - 1 = 0 \implies y = 1 \implies B(0, 1, 0)$$ * **Intersección con el eje OZ ($x=0, y=0$):** $$0 + 0 - 2z - 1 = 0 \implies -2z = 1 \implies z = -1/2 \implies C(0, 0, -1/2)$$ Los vértices del triángulo son los puntos **$A(1, 0, 0)$**, **$B(0, 1, 0)$** y **$C(0, 0, -1/2)$**. 💡 **Tip:** Los puntos sobre los ejes siempre tienen dos de sus coordenadas iguales a cero. Para el eje X, $y=z=0$; para el eje Y, $x=z=0$; y para el eje Z, $x=y=0$.

Para calcular el área del triángulo, utilizaremos el producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los componentes de estos vectores restando las coordenadas de sus extremos: $$\vec{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, -1/2 - 0) = (-1, 0, -1/2)$$ 💡 **Tip:** El orden de la resta es fundamental: $\vec{PQ} = Q - P$. Siempre es el punto final menos el punto inicial.

El área de un triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ viene dada por la fórmula: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Primero, calculamos el producto vectorial $\vec{v} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1/2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus o el desarrollo por menores: $$\vec{v} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -1/2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v} = \vec{i} \left( 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 0 \cdot 0 \right) - \vec{j} \left( (-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 0 \cdot (-1) \right) + \vec{k} \left( (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \right)$$ $$\vec{v} = -\frac{1}{2}\vec{i} - \frac{1}{2}\vec{j} + 1\vec{k}$$ Por tanto, el vector resultante es **$\vec{v} = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$**.

Calculamos el módulo del vector obtenido para hallar la base del área: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{2}{4} + 1} = \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área del triángulo: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$ Racionalizando o simplificando la expresión: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.612 \text{ u}^2}$$