Polinomio característico de una matriz 2x2

**Ejercicio 1.- Dados los números reales $a, b, c, d$, se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Pruebe que el polinomio $p(x) = \det(A - xI_2)$ es $p(x) = x^2 - \text{traza}(A)x + \det(A)$. (2,5 puntos)** Primero, definimos la matriz identidad de orden 2, denotada por $I_2$: $$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora, calculamos la matriz resultante de la operación $A - xI_2$: $$A - xI_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - x \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-x & b \\ c & d-x \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para restar matrices, restamos los elementos que ocupan la misma posición. Multiplicar una matriz por un escalar $x$ implica multiplicar todos sus elementos por dicho valor.

El polinomio $p(x)$ se define como el determinante de la matriz calculada en el paso anterior: $$p(x) = \det(A - xI_2) = \begin{vmatrix} a-x & b \\ c & d-x \end{vmatrix}$$ Para una matriz de orden 2, el determinante se calcula como el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria: $$p(x) = (a-x)(d-x) - (b \cdot c)$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla para determinantes $2 \times 2$: $\det \begin{pmatrix} \alpha & eta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \alpha\delta - eta\gamma$.

Expandimos el producto de los binomios aplicando la propiedad distributiva: $$(a-x)(d-x) = ad - ax - dx + x^2$$ Sustituimos este desarrollo en la expresión de $p(x)$: $$p(x) = ad - ax - dx + x^2 - bc$$ Reordenamos los términos según las potencias de $x$ (de mayor a menor) y agrupamos los términos de primer grado factorizando por $-x$: $$p(x) = x^2 - (a+d)x + (ad - bc)$$ 💡 **Tip:** Es habitual escribir los polinomios en orden decreciente de sus potencias para identificar fácilmente sus coeficientes.

Finalmente, relacionamos los coeficientes obtenidos con las definiciones dadas para la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: 1. La **traza** de $A$ es la suma de los elementos de su diagonal: $\text{traza}(A) = a+d$. 2. El **determinante** de $A$ es el valor $\det(A) = ad - bc$. Sustituimos estas definiciones en nuestra expresión polinómica: $$p(x) = x^2 - (\text{traza}(A))x + \det(A)$$ Esto demuestra la igualdad requerida en el enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{p(x) = x^2 - \text{traza}(A)x + \det(A)}$$