Cálculo de una primitiva de una función racional e irracional

Para calcular una primitiva de la función $f(x) = \frac{x^3 - 3x + 5}{\sqrt[3]{x}}$, el método más sencillo consiste en descomponer la fracción en una suma de potencias de $x$. Primero, recordamos que la raíz cúbica se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: $$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$$ Ahora, dividimos cada término del numerador por el denominador aplicando las propiedades de las potencias ($a^m / a^n = a^{m-n}$): $$f(x) = \frac{x^3}{x^{1/3}} - \frac{3x}{x^{1/3}} + \frac{5}{x^{1/3}}$$ $$f(x) = x^{3 - 1/3} - 3x^{1 - 1/3} + 5x^{-1/3}$$ Realizamos las operaciones con las fracciones de los exponentes: - $3 - \frac{1}{3} = \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3}$ - $1 - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$ Por tanto, la función queda simplificada como: $$\boxed{f(x) = x^{8/3} - 3x^{2/3} + 5x^{-1/3}}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una integral con una raíz en el denominador y un polinomio arriba, intenta simplificarla a potencias de $x$ antes de buscar otros métodos de integración.

Buscamos la integral indefinida $F(x) = \int f(x) \, dx$. Aplicamos la propiedad de linealidad de la integral para separar los términos: $$F(x) = \int (x^{8/3} - 3x^{2/3} + 5x^{-1/3}) \, dx = \int x^{8/3} \, dx - 3 \int x^{2/3} \, dx + 5 \int x^{-1/3} \, dx$$ Utilizamos la fórmula fundamental de integración para potencias $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (para $n \neq -1$): 1. **Primer término:** $\int x^{8/3} \, dx = \frac{x^{8/3 + 1}}{8/3 + 1} = \frac{x^{11/3}}{11/3} = \frac{3}{11} x^{11/3}$ 2. **Segundo término:** $3 \int x^{2/3} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} = 3 \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} = 3 \cdot \frac{3}{5} x^{5/3} = \frac{9}{5} x^{5/3}$ 3. **Tercer término:** $5 \int x^{-1/3} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} = 5 \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} = 5 \cdot \frac{3}{2} x^{2/3} = \frac{15}{2} x^{2/3}$ 💡 **Tip:** Recuerda que al integrar una potencia, el nuevo exponente es el resultado de sumar $1$ al original, y ese mismo valor pasa dividiendo a la expresión.

Agrupamos todos los términos calculados anteriormente e incluimos la constante de integración $C$. Para dar el resultado final, volvemos a expresar las potencias fraccionarias en forma de raíz: $$F(x) = \frac{3}{11} \sqrt[3]{x^{11}} - \frac{9}{5} \sqrt[3]{x^5} + \frac{15}{2} \sqrt[3]{x^2} + C$$ Como el enunciado nos pide calcular "una" primitiva, podemos elegir cualquier valor para $C$ (por ejemplo, $C=0$). Sin embargo, lo habitual es dar la expresión general. Podemos extraer factores de los radicales para una expresión más elegante: - $\sqrt[3]{x^{11}} = x^3 \sqrt[3]{x^2}$ - $\sqrt[3]{x^5} = x \sqrt[3]{x^2}$ Pero la forma estándar de la primitiva es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \frac{3}{11} x^{11/3} - \frac{9}{5} x^{5/3} + \frac{15}{2} x^{2/3} + C}$$