Continuidad y derivabilidad de una función con exponencial

**a) Determine razonadamente el valor del parámetro $k$ para que la función sea continua para todos los números reales. (1,25 puntos)** Para $x \neq 0$, la función $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ es continua por ser un cociente de funciones continuas (exponencial y polinómica) donde el denominador no se anula. Para que sea continua en todos los números reales, debe ser continua en el punto de salto $x = 0$. La condición de continuidad en $x = 0$ es: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$ Sabemos que por la definición de la función, $f(0) = k$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \frac{e^0 - 1}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Cuando obtenemos una indeterminación $\frac{0}{0}$ en funciones derivables, la Regla de L'Hôpital es la herramienta más directa.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador de forma independiente: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = \frac{e^0}{1} = 1$$ Para que la función sea continua en $x = 0$, el límite debe coincidir con el valor de la función: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \implies 1 = k$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 1}$$

**b) Estudie si esta función es derivable cuando $x = 0$, y en caso afirmativo halle $f'(0)$. (1,25 puntos)** Para estudiar la derivabilidad en $x = 0$ tras haber comprobado la continuidad (con $k=1$), utilizamos la definición de derivada en un punto: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$$ Sustituimos $f(0+h) = f(h) = \frac{e^h - 1}{h}$ y $f(0) = 1$: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{e^h - 1}{h} - 1}{h}$$ Simplificamos la expresión del numerador operando la fracción: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{e^h - 1 - h}{h}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1 - h}{h^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él. Si $k \neq 1$, la función no sería continua y, por tanto, tampoco derivable.

Evaluamos el límite obtenido: $$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1 - h}{h^2} = \frac{e^0 - 1 - 0}{0^2} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la Regla de L'Hôpital (primera vez): $$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1 - h}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{2h} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la Regla de L'Hôpital de nuevo (segunda vez): $$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$$ Como el límite existe y es finito, la función es derivable en $x = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(0) = \frac{1}{2}}$$