Posición relativa de dos rectas y cálculo de un plano

**a) Estudie la posición relativa de $r_1$ y $r_2$. (1,25 puntos)** Primero, obtenemos un punto y un vector director de la recta $r_1$. La recta viene dada por las ecuaciones de los planos $x=0$ y $z=0$, lo que coincide con el eje $Y$. - **Punto $P_1$**: Si hacemos $y=0$, obtenemos el punto $P_1(0, 0, 0)$. - **Vector director $\vec{v_1}$**: Como es el eje $Y$, su vector director es $\vec{v_1} = (0, 1, 0)$. También podemos verlo como el producto vectorial de los normales de los planos que la definen: $(1, 0, 0) \times (0, 0, 1) = (0, -1, 0)$, que es proporcional a $(0, 1, 0)$.

Para la recta $r_2$, obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{n_1} = (1, 1, 1), \quad \vec{n_2} = (2, -1, 3)$$ $$\vec{v_2} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 - (-1)) - \vec{j}(3 - 2) + \vec{k}(-1 - 2) = 4\vec{i} - \vec{j} - 3\vec{k}$$ $$\vec{v_2} = (4, -1, -3)$$ Para obtener un punto $P_2$, damos un valor a una de las variables en el sistema, por ejemplo $z=0$: $$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $3x = 6 \implies x = 2$. Sustituyendo en la primera: $2 + y = 5 \implies y = 3$. Por tanto, el punto es **$P_2(2, 3, 0)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Para determinar la posición relativa, comparamos los vectores directores y analizamos el determinante formado por $(\vec{P_1P_2}, \vec{v_1}, \vec{v_2})$. 1. **¿Son paralelos?** $$\vec{v_1} = (0, 1, 0) \quad \text{y} \quad \vec{v_2} = (4, -1, -3)$$ Claramente no son proporcionales, por lo que las rectas **se cortan o se cruzan**. 2. **Estudio del determinante:** Calculamos el vector $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (2, 3, 0) - (0, 0, 0) = (2, 3, 0)$. $$\det(\vec{P_1P_2}, \vec{v_1}, \vec{v_2}) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene más ceros): $$\det = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 0) = -6$$ Como el determinante es distinto de cero ($\text{rango}(\vec{P_1P_2}, \vec{v_1}, \vec{v_2}) = 3$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r_1 \text{ y } r_2 \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**b) Encuentre, si es posible, un plano paralelo a $r_1$ y que contenga a $r_2$. (1,25 puntos)** Si el plano $\pi$ contiene a $r_2$, entonces debe pasar por el punto $P_2(2, 3, 0)$ y tener como uno de sus vectores directores a $\vec{v_2} = (4, -1, -3)$. Si además el plano es paralelo a $r_1$, el vector director de $r_1$, $\vec{v_1} = (0, 1, 0)$, debe ser también un vector director del plano (o el plano debe contener a $r_1$, pero ya sabemos que se cruzan). El vector normal del plano $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(-3 - 0) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(0 - 4) = -3\vec{i} - 4\vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (-3, 0, -4)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores. El vector normal es perpendicular a ambos.

Utilizamos el vector normal $\vec{n_\pi} = (-3, 0, -4)$ y el punto $P_2(2, 3, 0)$ para hallar la ecuación del plano: $$-3(x - 2) + 0(y - 3) - 4(z - 0) = 0$$ $$-3x + 6 - 4z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$3x + 4z - 6 = 0$$ Podemos comprobar que es paralelo a $r_1$ viendo que $\vec{v_1} \cdot \vec{n_\pi} = (0, 1, 0) \cdot (3, 0, 4) = 0$ y que contiene a $r_2$ verificando que cualquier punto de $r_2$ cumple la ecuación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 3x + 4z - 6 = 0}$$