Sistema de ecuaciones: Marcador de baloncesto

**a) Plantee el sistema de ecuaciones resultante de lo anterior. (1 punto)** Primero, definimos las incógnitas basándonos en los tipos de canastas mencionadas: - $x$: número de canastas de dos puntos. - $y$: número de triples (canastas de tres puntos). - $z$: número de tiros libres (canastas de un punto). Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El marcador total del equipo ganador fue de 64 puntos: $$2x + 3y + 1z = 64$$ 2. El número de tiros libres ($z$) fue dos más que cinco veces el número de triples ($y$): $$z = 5y + 2 \implies -5y + z = 2$$ 3. El número de canastas de dos puntos ($x$) fue dos más que el número de tiros libres ($z$): $$x = z + 2 \implies x - z = 2$$ El sistema de ecuaciones resultante es: $$\boxed{\begin{cases} 2x + 3y + z = 64 \\ -5y + z = 2 \\ x - z = 2 \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de que todas las variables estén en el mismo orden en cada ecuación antes de pasar a la forma matricial.

**b) Escriba la matriz ampliada del sistema obtenido en a). (0,5 puntos)** Para representar el sistema en forma matricial, ordenamos las variables ($x, y, z$) y escribimos los coeficientes. El sistema ordenado es: $$\begin{cases} 2x + 3y + z = 64 \\ 0x - 5y + z = 2 \\ 1x + 0y - z = 2 \end{cases}$$ La matriz ampliada $(A|B)$ contiene los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes: $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & | & 64 \\ 0 & -5 & 1 & | & 2 \\ 1 & 0 & -1 & | & 2 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Si una variable no aparece en una ecuación, su coeficiente en la matriz es 0.

**c) ¿Cuántas canastas de cada tipo metió el equipo de la Universidad de Oviedo? (1 punto)** Dado que las ecuaciones (2) y (3) permiten despejar fácilmente $x$ e $y$ en función de $z$, utilizaremos el método de sustitución: De la ecuación (3): $x = z + 2$ De la ecuación (2): $5y = z - 2 \implies y = \dfrac{z - 2}{5}$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación (1): $$2(z + 2) + 3\left(\frac{z - 2}{5}\right) + z = 64$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por 5: $$10(z + 2) + 3(z - 2) + 5z = 320$$ $$10z + 20 + 3z - 6 + 5z = 320$$ $$18z + 14 = 320$$ $$18z = 306 \implies z = \frac{306}{18} = 17$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar si el resultado tiene sentido físico (en este caso, deben ser números enteros positivos).

Una vez hallado el valor de $z = 17$, calculamos el resto de variables: Para $x$: $$x = z + 2 = 17 + 2 = 19$$ Para $y$: $$y = \frac{z - 2}{5} = \frac{17 - 2}{5} = \frac{15}{5} = 3$$ Comprobamos en la primera ecuación: $$2(19) + 3(3) + 17 = 38 + 9 + 17 = 64$$ La solución es correcta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{19 canastas de dos puntos, 3 triples y 17 tiros libres}}$$