Geometría en el espacio: Plano perpendicular y punto simétrico

**a) [1’25 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$.** Para que un plano sea perpendicular a una recta, el vector director de dicha recta, $\vec{v}_r$, debe ser el vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. La recta $r$ viene dada en su forma continua: $$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{3}$$ De los denominadores extraemos el vector director: $$\vec{v}_r = (2, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, el vector director es $(v_x, v_y, v_z)$.

Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, tomamos su vector normal como $\vec{n}_\pi = (2, 1, 3)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, por lo que tenemos: $$2x + y + 3z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $A(8, -1, 3)$ pertenezca al plano: $$2(8) + (-1) + 3(3) + D = 0$$ $$16 - 1 + 9 + D = 0$$ $$24 + D = 0 \implies D = -24$$ La ecuación del plano es: $$\boxed{2x + y + 3z - 24 = 0}$$

**b) [1’25 puntos] Halla el punto simétrico de $A$ respecto de $r$.** El punto simétrico $A'$ de $A$ respecto a la recta $r$ se obtiene siguiendo estos pasos: 1. Hallar el plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pasa por $A$ (ya calculado en el apartado anterior). 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ será la proyección ortogonal de $A$ sobre $r$ y, por tanto, el **punto medio** del segmento $AA'$. 3. Utilizar la fórmula del punto medio para despejar las coordenadas de $A'$. 💡 **Tip:** No uses fórmulas directas de simetría, es mucho más seguro y didáctico hallar primero el punto medio $M$ como intersección de recta y plano.

Para hallar $M = r \cap \pi$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 1 + 3\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi: 2x + y + 3z - 24 = 0$: $$2(-1 + 2\lambda) + (2 + \lambda) + 3(1 + 3\lambda) - 24 = 0$$ $$-2 + 4\lambda + 2 + \lambda + 3 + 9\lambda - 24 = 0$$ $$14\lambda - 21 = 0 \implies 14\lambda = 21 \implies \lambda = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$$ Sustituimos $\lambda = 1.5$ en las paramétricas de $r$ para obtener $M$: $$x_M = -1 + 2(1.5) = 2$$ $$y_M = 2 + 1.5 = 3.5 = \frac{7}{2}$$ $$z_M = 1 + 3(1.5) = 1 + 4.5 = 5.5 = \frac{11}{2}$$ El punto de intersección es $M\left(2, \frac{7}{2}, \frac{11}{2}\right)$.

El punto $M$ es el punto medio entre $A(8, -1, 3)$ y su simétrico $A'(x', y', z')$. Se cumple: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies (2, 3.5, 5.5) = \left( \frac{8 + x'}{2}, \frac{-1 + y'}{2}, \frac{3 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $2 = \frac{8 + x'}{2} \implies 4 = 8 + x' \implies x' = -4$ 2. $\frac{7}{2} = \frac{-1 + y'}{2} \implies 7 = -1 + y' \implies y' = 8$ 3. $\frac{11}{2} = \frac{3 + z'}{2} \implies 11 = 3 + z' \implies z' = 8$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{A'(-4, 8, 8)}$$