Ecuación matricial con inversa

Para hallar la matriz $X$ en la ecuación $A^{-1}XA = B - A$, debemos aislarla utilizando las propiedades de la matriz inversa y el producto de matrices. Multiplicamos por la izquierda por la matriz $A$ en ambos miembros: $$A \cdot (A^{-1}XA) = A \cdot (B - A)$$ $$(A \cdot A^{-1})XA = A(B - A)$$ $$I \cdot XA = A(B - A) \implies XA = A(B - A)$$ Ahora, multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$XA \cdot A^{-1} = A(B - A)A^{-1}$$ $$X(A \cdot A^{-1}) = A(B - A)A^{-1}$$ $$X \cdot I = A(B - A)A^{-1}$$ La expresión final para calcular $X$ es: $$\boxed{X = A(B - A)A^{-1}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo ($A \cdot B \neq B \cdot A$), por lo que es fundamental multiplicar por el mismo lado en ambos miembros de la igualdad.

Calculamos la diferencia de las matrices dadas, elemento a elemento: $$B - A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3 \end{pmatrix}$$ $$B - A = \begin{pmatrix} 0-1 & 0-0 & 1-0 \\ 1-0 & 1-(-2) & 1-1 \\ 1-0 & 0-(-5) & 0-3 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{B - A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^{-1}$, utilizamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. **1. Determinante de A:** $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (ya que tiene dos ceros): $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -5 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-2) \cdot 3 - 1 \cdot (-5)) = -6 + 5 = -1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. **2. Matriz de adjuntos:** Calculamos cada adjunto $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: - $A_{11} = +(-6+5) = -1$ - $A_{12} = -(0) = 0$ - $A_{13} = +(0) = 0$ - $A_{21} = -(0) = 0$ - $A_{22} = +(3-0) = 3$ - $A_{23} = -(-5-0) = 5$ - $A_{31} = +(0) = 0$ - $A_{32} = -(1-0) = -1$ - $A_{33} = +(-2-0) = -2$ $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix}$ **3. Inversa:** $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -5 & 2 \end{pmatrix}}$$

Llamamos $C = B - A$ y calculamos primero el producto $A \cdot C$: $$A \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot C = \begin{pmatrix} (1)(-1)+0+0 & 0+0+0 & (1)(1)+0+0 \\ 0+(-2)(1)+(1)(1) & 0+(-2)(3)+(1)(5) & 0+0+(1)(-3) \\ 0+(-5)(1)+(3)(1) & 0+(-5)(3)+(3)(5) & 0+0+(3)(-3) \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A \cdot C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ -2 & 0 & -9 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, multiplicamos el resultado anterior por $A^{-1}$: $$X = (A \cdot C) \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ -2 & 0 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -5 & 2 \end{pmatrix}$$ Operamos fila por columna: - Fila 1: $x_{11} = (-1)(1) + 0 + (1)(0) = -1$ $x_{12} = (-1)(0) + 0 + (1)(-5) = -5$ $x_{13} = (-1)(0) + 0 + (1)(2) = 2$ - Fila 2: $x_{21} = (-1)(1) + 0 + 0 = -1$ $x_{22} = (-1)(0) + (-1)(-3) + (-3)(-5) = 3 + 15 = 18$ $x_{23} = (-1)(0) + (-1)(1) + (-3)(2) = -1 - 6 = -7$ - Fila 3: $x_{31} = (-2)(1) + 0 + 0 = -2$ $x_{32} = (-2)(0) + 0 + (-9)(-5) = 45$ $x_{33} = (-2)(0) + 0 + (-9)(2) = -18$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & -5 & 2 \\ -1 & 18 & -7 \\ -2 & 45 & -18 \end{pmatrix}}$$