Cálculo de la primitiva de una función racional

Para calcular la primitiva de la función $f(x) = \frac{x + 9}{(x + 1)(x - 3)}$, observamos que se trata de una función racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Además, el denominador ya está factorizado con raíces reales simples: $x = -1$ y $x = 3$. Planteamos la descomposición en fracciones simples: $$\frac{x + 9}{(x + 1)(x - 3)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 3}$$ Multiplicando ambos miembros por el denominador común $(x+1)(x-3)$ obtenemos: $$x + 9 = A(x - 3) + B(x + 1)$$ Calculamos los coeficientes $A$ y $B$ dando valores a $x$ (sus raíces): - Si $x = -1$: $$-1 + 9 = A(-1 - 3) \implies 8 = -4A \implies A = -2$$ - Si $x = 3$: $$3 + 9 = B(3 + 1) \implies 12 = 4B \implies B = 3$$ 💡 **Tip:** Para resolver sistemas de coeficientes en fracciones simples, lo más rápido es sustituir las raíces del denominador en la ecuación lineal resultante. $$\boxed{f(x) = \frac{-2}{x + 1} + \frac{3}{x - 3}}$$

Calculamos la integral de la función utilizando la descomposición obtenida en el paso anterior: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{-2}{x + 1} + \frac{3}{x - 3} \right) dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral: $$F(x) = -2 \int \frac{1}{x + 1} \, dx + 3 \int \frac{1}{x - 3} \, dx$$ Ambas integrales son de tipo logarítmico inmediato: $$F(x) = -2 \ln|x + 1| + 3 \ln|x - 3| + C$$ Dado que el dominio de la función es el intervalo $(-1, 3)$, sabemos que $x + 1 > 0$ y $x - 3 < 0$. Por lo tanto, podemos escribir los valores absolutos de la siguiente forma: - $|x + 1| = x + 1$ - $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ $$F(x) = -2 \ln(x + 1) + 3 \ln(3 - x) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C$.

Se nos pide la primitiva cuya gráfica pasa por el punto $(1, 0)$. Esto significa que $F(1) = 0$. Sustituimos $x = 1$ en nuestra expresión de $F(x)$: $$F(1) = -2 \ln(1 + 1) + 3 \ln(3 - 1) + C = 0$$ $$-2 \ln(2) + 3 \ln(2) + C = 0$$ $$(3 - 2) \ln(2) + C = 0$$ $$\ln(2) + C = 0 \implies C = -\ln(2)$$ Por tanto, la primitiva buscada es: $$F(x) = -2 \ln(x + 1) + 3 \ln(3 - x) - \ln(2)$$ Podemos simplificar usando propiedades de los logaritmos (opcional): $$F(x) = \ln \left( \frac{(3 - x)^3}{2(x + 1)^2} \right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = -2 \ln(x + 1) + 3 \ln(3 - x) - \ln 2}$$