Análisis completo de una función exponencial con x al cuadrado

**a) [0’75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, analizamos el dominio de la función $f(x) = x^2e^{-x^2} = \dfrac{x^2}{e^{x^2}}$. Como la función exponencial $e^{x^2}$ nunca se anula y es continua en todo $\mathbb{R}$, al igual que el polinomio $x^2$, el dominio de la función es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Al no haber puntos de discontinuidad ni valores donde la función tienda a infinito de forma puntual: $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$ 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen buscarse en los puntos que no pertenecen al dominio en funciones racionales o logarítmicas.

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos los límites cuando $x \to \pm\infty$. Debido a que $x^2$ en el exponente hace que la función sea par ($f(x) = f(-x)$), el comportamiento en $+\infty$ y $-\infty$ será idéntico: $$\lim_{x \to \pm\infty} x^2e^{-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{e^{x^2}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de **L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{e^{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{2x e^{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{e^{x^2}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Al aplicar L'Hôpital, si el factor $2x$ aparece en ambos términos, podemos simplificarlo directamente para facilitar el límite. Por tanto, existe una asíntota horizontal en la recta: $$\boxed{y = 0 \text{ (el eje } X\text{)}}$$ Como existe asíntota horizontal, **no hay asíntotas oblicuas**.

**b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la monotonía, calculamos $f'(x)$ usando la regla del producto: $$f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$$ $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (e^{-x^2})'$$ $$f'(x) = 2x e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2})$$ $$f'(x) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$$ Factorizamos para simplificar el estudio del signo: $$\boxed{f'(x) = 2x(1 - x^2)e^{-x^2}}$$

Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$2x(1 - x^2)e^{-x^2} = 0$$ Como $e^{-x^2} > 0$ siempre, las soluciones vienen de: 1. $2x = 0 \implies x = 0$ 2. $1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, x = -1$ Evaluamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline 2x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ 1-x^2 & - & 0 & + & + & + & 0 & -\\ e^{-x^2} & + & + & + & + & + & + & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & -\\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento:** $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ **Intervalos de decrecimiento:** $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$

Calculamos las ordenadas de los puntos singulares sustituyendo en $f(x)$: - Para **$x = -1$**: $$f(-1) = (-1)^2 e^{-(-1)^2} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$ - Para **$x = 0$**: $$f(0) = 0^2 e^{0} = 0$$ - Para **$x = 1$**: $$f(1) = 1^2 e^{-(1)^2} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$ ✅ **Resultados de extremos:** - **Máximos relativos:** $\boxed{(-1, 1/e)} \text{ y } \boxed{(1, 1/e)}$ - **Mínimo relativo:** $\boxed{(0, 0)}$

**c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Para el esbozo, tenemos en cuenta: 1. Es una función **par** (simétrica respecto al eje $Y$). 2. Pasa por el origen $(0,0)$, que es un mínimo. 3. Tiene dos picos (máximos) en $x = \pm 1$ con altura $1/e \approx 0.37$. 4. Cuando $x$ crece o decrece mucho, la gráfica se pega al eje $X$ ($y=0$).