Geometría en el espacio: Plano, recta perpendicular y área de un triángulo

**a) [1 punto] Halla la ecuación del plano $\pi$ que contiene al triángulo.** Para hallar la ecuación de un plano que contiene a tres puntos $A, B$ y $C$, necesitamos un punto del plano (usaremos $A$) y dos vectores directores que no sean paralelos. Estos vectores se obtienen uniendo los puntos: $$\vec{AB} = B - A = (3 - (-3), 6 - 4, 3 - 0) = (6, 2, 3)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - (-3), 2 - 4, 1 - 0) = (2, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Un vector que va de $P$ a $Q$ se calcula siempre como extremo menos origen: $\vec{PQ} = Q - P$.

El vector normal $\vec{n}$ al plano $\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores. Este vector será perpendicular a cualquier recta contenida en el plano. $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por la regla de Sarrus o desarrollo por filas: $$\vec{n} = \vec{i}(2 \cdot 1 - 3 \cdot (-2)) - \vec{j}(6 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(6 \cdot (-2) - 2 \cdot 2)$$ $$\vec{n} = \vec{i}(2 + 6) - \vec{j}(6 - 6) + \vec{k}(-12 - 4)$$ $$\vec{n} = (8, 0, -16)$$ Para simplificar los cálculos de la ecuación del plano, podemos usar un vector proporcional a $\vec{n}$. Dividimos entre $8$: $$\vec{n_{\pi}} = (1, 0, -2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos vectores originales.

La ecuación general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n_{\pi}} = (1, 0, -2)$. Sustituimos el vector normal: $$1x + 0y - 2z + D = 0 \implies x - 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $A(-3, 4, 0)$ pertenece al plano: $$(-3) - 2(0) + D = 0 \implies -3 + D = 0 \implies D = 3$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{x - 2z + 3 = 0}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar que el plano es correcto sustituyendo los otros puntos ($B$ y $C$) en la ecuación resultante.

**b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el origen de coordenadas.** Una recta perpendicular a un plano tiene como vector director $\vec{d_r}$ el vector normal del plano $\vec{n_{\pi}}$. Datos de la recta $r$: - Punto: $O(0, 0, 0)$ - Vector director: $\vec{d_r} = \vec{n_{\pi}} = (1, 0, -2)$ Expresamos la recta en su forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 0 + 1\lambda \\ y = 0 + 0\lambda \\ z = 0 - 2\lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = -2\lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$\boxed{\frac{x}{1} = \frac{z}{-2} ; \quad y = 0}$$ 💡 **Tip:** Si una componente del vector director es cero (como en $y$), esa variable se indica por separado en la forma continua.

**c) [0’5 puntos] Calcula el área del triángulo $ABC$.** El área de un triángulo cuyos vértices son $A, B$ y $C$ es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores que forman dos de sus lados: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ En el apartado (a) ya calculamos el vector producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (8, 0, -16)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 0^2 + (-16)^2} = \sqrt{64 + 0 + 256} = \sqrt{320}$$ $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$$ Calculamos el área: $$\text{Área} = \frac{8\sqrt{5}}{2} = 4\sqrt{5} \text{ u}^2$$ Utilizando una aproximación decimal: $$\boxed{\text{Área} \approx 8.94 \text{ unidades de área}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo definido por los vectores. El triángulo es exactamente la mitad.