Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1’5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 0 & \lambda & \lambda + 1 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 0 & \lambda & \lambda + 1 & \lambda \\ \lambda & 0 & 1 & \lambda \\ 1 & 0 & \lambda & \lambda \end{array} \right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la segunda columna, ya que tiene dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & \lambda & \lambda + 1 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = -\lambda \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} = -\lambda (\lambda^2 - 1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-\lambda (\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0 \implies \lambda = 0, \quad \lambda = 1, \quad \lambda = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es siempre Compatible Determinado.

Analizamos el sistema según los valores de $\lambda$: 1. **Si $\lambda \neq 0, 1, -1$:** Como $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 3$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. Como coincide con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. 2. **Si $\lambda = 0$:** $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$ Las dos primeras filas son iguales. El determinante $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 2$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 3. **Si $\lambda = 1$:** $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Las filas 2 y 3 son iguales. $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 2$ (pues la columna de términos independientes es igual a la primera columna). El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 4. **Si $\lambda = -1$:** $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \end{array} \right)$$ $\text{rg}(A) = 2$ (fila 3 = - fila 2). Calculamos un menor de $A^*$ usando la última columna: $$\begin{vmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 - (-1)(1 - (-1)) + (-1)(0) = 2 \neq 0$$ Entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**b) [0’5 puntos] Resuelve el sistema para $\lambda = 1$.** Sustituimos $\lambda = 1$ y eliminamos la ecuación redundante (la tercera es igual a la segunda): $$\left\{ \begin{aligned} y + 2z &= 1 \\ x + z &= 1 \end{aligned} \right.$$ Tomamos $z = \alpha$ como parámetro: 1. De la segunda ecuación: $x = 1 - \alpha$ 2. De la primera ecuación: $y = 1 - 2\alpha$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \alpha, 1 - 2\alpha, \alpha) \quad \text{con } \alpha \in \mathbb{R}}$$

**c) [0’5 puntos] Para $\lambda = 0$, si es posible, da tres soluciones distintas.** Sustituimos $\lambda = 0$ en el sistema original: $$\left\{ \begin{aligned} z &= 0 \\ z &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned} \right.$$ Las incógnitas $x$ y $z$ están fijadas en $0$, pero la incógnita $y$ no aparece en ninguna ecuación simplificada, por lo que puede tomar cualquier valor real ($y = \mu$). La solución general es $(0, \mu, 0)$. Para dar tres soluciones distintas, simplemente asignamos valores a $\mu$: - Si $\mu = 0 \implies \mathbf{(0, 0, 0)}$ - Si $\mu = 1 \implies \mathbf{(0, 1, 0)}$ - Si $\mu = 2 \implies \mathbf{(0, 2, 0)}$ ✅ **Tres soluciones posibles:** $$\boxed{(0,0,0), \; (0,1,0), \; (0,2,0)}$$