Estudio de recta tangente y cálculo de áreas

**a) [0’75 puntos] Halla, si existe, el punto de la gráfica de $f$ en el que la recta tangente es $y = 3 - x$.** Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una función $f$ en un punto de abscisa $x=a$ coincide con el valor de la derivada en dicho punto, es decir, $m = f'(a)$. La recta tangente dada es $y = 3 - x$. Esta es una recta de la forma $y = mx + n$, donde la pendiente es: $$m = -1.$$ Calculamos primero la derivada de $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$: $$f'(x) = 3x^2 - 6x - 1.$$ Para hallar los posibles puntos, igualamos la derivada a la pendiente de la recta: $$3x^2 - 6x - 1 = -1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto.

Resolvemos la ecuación resultante: $$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0.$$ Esto nos da dos posibles valores para $x$: 1. $x = 0$ 2. $x = 2$ Ahora debemos comprobar cuál de estos puntos pertenece realmente a la recta $y = 3 - x$: - **Para $x = 0$:** - Imagen en la función: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 0 + 3 = 3$. El punto es $(0, 3)$. - Valor en la recta: $y = 3 - 0 = 3$. Como los valores coinciden, **$(0, 3)$ es el punto de tangencia**. - **Para $x = 2$:** - Imagen en la función: $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 2 + 3 = 8 - 12 - 2 + 3 = -3$. El punto es $(2, -3)$. - Valor en la recta: $y = 3 - 2 = 1$. Como $-3 \neq 1$, este punto no pertenece a la recta. ✅ **Resultado (punto de tangencia):** $$\boxed{P(0, 3)}$$

**b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta del apartado anterior.** Para hallar el área entre dos funciones, primero necesitamos encontrar sus puntos de corte igualando $f(x)$ a la recta $y = 3 - x$: $$x^3 - 3x^2 - x + 3 = 3 - x.$$ Simplificamos la ecuación: $$x^3 - 3x^2 = 0 \implies x^2(x - 3) = 0.$$ Los puntos de corte son: - $x = 0$ (punto de tangencia, es una raíz doble). - $x = 3$. El recinto de integración será el intervalo $[0, 3]$. 💡 **Tip:** Al resolver $f(x) = g(x)$, las raíces nos indican los límites de integración del área encerrada.

El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{0}^{3} |f(x) - (3 - x)| \, dx = \int_{0}^{3} |x^3 - 3x^2| \, dx.$$ Estudiamos el signo de $h(x) = x^3 - 3x^2$ en el intervalo $(0, 3)$. Por ejemplo, para $x = 1$: $h(1) = 1^3 - 3(1)^2 = -2 \lt 0$. Como la función es negativa en el intervalo, el área es: $$A = \int_{0}^{3} -(x^3 - 3x^2) \, dx = \int_{0}^{3} (3x^2 - x^3) \, dx.$$ Calculamos la primitiva: $$\int (3x^2 - x^3) \, dx = x^3 - \frac{x^4}{4}.$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{3} = \left( 3^3 - \frac{3^4}{4} \right) - \left( 0^3 - \frac{0^4}{4} \right)$$ $$A = \left( 27 - \frac{81}{4} \right) - 0 = \frac{108 - 81}{4} = \frac{27}{4}.$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{27}{4} = 6.75 \text{ unidades}^2}$$