Cálculo de un límite trigonométrico mediante la regla de L'Hôpital

Para calcular el límite, primero evaluamos la función en $x = 0$ para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \text{sen } x}{x - \text{sen } x} = \frac{\tan 0 - \text{sen } 0}{0 - \text{sen } 0} = \frac{0 - 0}{0 - 0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Como se trata de funciones derivables en el entorno de $x=0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital nos dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $f(x) = \tan x - \text{sen } x \implies f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - \cos x$ - Denominador: $g(x) = x - \text{sen } x \implies g'(x) = 1 - \cos x$ Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \text{sen } x}{x - \text{sen } x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^2 x} - \cos x}{1 - \cos x}$$ Si evaluamos de nuevo en $x=0$: $$\frac{\frac{1}{\cos^2 0} - \cos 0}{1 - \cos 0} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ La indeterminación persiste, por lo que aplicaremos la regla de L'Hôpital por segunda vez. Para facilitar la derivada, podemos reescribir $\frac{1}{\cos^2 x}$ como $\cos^{-2} x$.

Derivamos nuevamente numerador y denominador: - Numerador: $f''(x) = (-2)\cos^{-3} x \cdot (-\text{sen } x) + \text{sen } x = \frac{2 \text{sen } x}{\cos^3 x} + \text{sen } x$ - Denominador: $g''(x) = \text{sen } x$ Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \text{sen } x}{\cos^3 x} + \text{sen } x}{\text{sen } x}$$ Para resolver este límite de forma sencilla, podemos **simplificar la expresión dividiendo todos los términos entre $\text{sen } x$** (ya que $x \to 0$ pero $x \neq 0$): $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x \left( \frac{2}{\cos^3 x} + 1 \right)}{\text{sen } x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{\cos^3 x} + 1 \right)$$ Sustituyendo $x=0$: $$\frac{2}{\cos^3 0} + 1 = \frac{2}{1^3} + 1 = 2 + 1 = 3$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas un factor común en el numerador y denominador de un límite tras aplicar L'Hôpital, simplifícalo antes de volver a derivar o evaluar. Esto evita que las derivadas se vuelvan excesivamente complejas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \text{sen } x}{x - \text{sen } x} = 3}$$