Plano perpendicular a una recta y distancia de un punto a una recta

**a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a $P$ y es perpendicular a $r$.** Para hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, necesitamos el vector director de dicha recta, $\vec{v_r}$, ya que este será el vector normal del plano, $\vec{n_{\pi}}$. La recta $r$ está expresada como intersección de dos planos. Podemos obtener su dirección calculando el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos o, de forma más sencilla, pasando la recta a ecuaciones paramétricas. De las ecuaciones de $r$: $$\begin{cases} x = 2 - z \\ y = 1 - z \end{cases}$$ Si llamamos $z = \lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ El vector director de la recta es el coeficiente de $\lambda$: $$\vec{v_r} = (-1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ también se puede hallar como $\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.

Como el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, su vector normal $\vec{n_{\pi}}$ coincide con el vector director de la recta: $$\vec{n_{\pi}} = \vec{v_r} = (-1, -1, 1)$$ La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$-1 \cdot x - 1 \cdot y + 1 \cdot z + D = 0 \implies -x - y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $P(2, -2, 0)$ pertenezca al plano: $$-(2) - (-2) + 0 + D = 0$$ $$-2 + 2 + D = 0 \implies D = 0$$ Por lo tanto, la ecuación del plano es $-x - y + z = 0$, que podemos escribir multiplicando por $-1$ para mayor comodidad. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\pi: x + y - z = 0}$$

**b) [1’25 puntos] Calcula la distancia de $P$ a $r$.** Para calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizaremos el método de la proyección ortogonal. Los pasos son: 1. Hallar un plano $\pi$ que contenga a $P$ y sea perpendicular a $r$ (ya lo hemos hecho en el apartado a). 2. Calcular el punto de intersección $Q$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $Q$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. 3. La distancia buscada será el módulo del vector $\vec{PQ}$. 💡 **Tip:** Este método es muy útil porque nos da el punto más cercano de la recta al punto $P$.

Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$r: \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}, \quad \pi: x + y - z = 0$$ $$(2 - \lambda) + (1 - \lambda) - (\lambda) = 0$$ $$2 - \lambda + 1 - \lambda - \lambda = 0$$ $$3 - 3\lambda = 0 \implies 3\lambda = 3 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos el valor de $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$ para hallar el punto $Q$: $$x_Q = 2 - 1 = 1$$ $$y_Q = 1 - 1 = 0$$ $$z_Q = 1$$ El punto de intersección es $Q(1, 0, 1)$.

Calculamos el vector $\vec{PQ}$ siendo $P(2, -2, 0)$ y $Q(1, 0, 1)$: $$\vec{PQ} = (1 - 2, 0 - (-2), 1 - 0) = (-1, 2, 1)$$ La distancia es el módulo de este vector: $$d(P, r) = |\vec{PQ}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2}$$ $$d(P, r) = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo de un vector $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ es $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{6} \text{ unidades de longitud}}$$