Operaciones matriciales y ecuaciones con parámetros

**a) [0’75 puntos] ¿Para qué valores de $m$ se verifica que $A^2 = 2A + I$? ($I$ denota la matriz identidad).** Primero calculamos la matriz $A^2$ multiplicando $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 + m & 1 \\ 1 & 1 - m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + m & 1 \\ 1 & 1 - m \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento (1,1): $(1+m)(1+m) + 1 \cdot 1 = 1 + 2m + m^2 + 1 = m^2 + 2m + 2$ - Elemento (1,2): $(1+m) \cdot 1 + 1 \cdot (1-m) = 1 + m + 1 - m = 2$ - Elemento (2,1): $1 \cdot (1+m) + (1-m) \cdot 1 = 1 + m + 1 - m = 2$ - Elemento (2,2): $1 \cdot 1 + (1-m)(1-m) = 1 + 1 - 2m + m^2 = m^2 - 2m + 2$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} m^2 + 2m + 2 & 2 \\ 2 & m^2 - 2m + 2 \end{pmatrix}$$

Calculamos ahora la parte derecha de la igualdad: $$2A + I = 2 \begin{pmatrix} 1 + m & 1 \\ 1 & 1 - m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2m & 2 \\ 2 & 2 - 2m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$2A + I = \begin{pmatrix} 3 + 2m & 2 \\ 2 & 3 - 2m \end{pmatrix}$$ Igualamos $A^2 = 2A + I$ componente a componente: 1. $m^2 + 2m + 2 = 3 + 2m \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$ 2. $2 = 2$ (Se cumple siempre) 3. $2 = 2$ (Se cumple siempre) 4. $m^2 - 2m + 2 = 3 - 2m \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$ 💡 **Tip:** Al igualar matrices, todas las componentes correspondientes deben ser iguales. En este caso, ambas ecuaciones relevantes nos llevan al mismo resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1 \quad \text{y} \quad m = -1}$$

**b) [1’75 puntos] Para $m = 1$, calcula $A^{-1}$ y la matriz $X$ que satisface $AX - B = AB$.** Si $m = 1$, sustituimos en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 1 \\ 1 & 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$\det(A) = |A| = (2 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1$$ Como $|A| \neq 0$, existe la inversa. La hallamos mediante la matriz adjunta: 1. Matriz de menores: $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ 3. Traspuesta de la adjunta: $(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo de la secundaria y dividir todo por el determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $X$ en la ecuación $AX - B = AB$, primero despejamos $X$: $$AX = AB + B$$ Podemos sacar factor común $B$ por la derecha: $$AX = (A + I)B$$ Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$A^{-1}AX = A^{-1}(A + I)B \implies X = (A^{-1}A + A^{-1}I)B = (I + A^{-1})B$$ Primero calculamos $(I + A^{-1})$: $$I + A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X$ multiplicando por $B$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ - Elemento (1,1): $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$ - Elemento (1,2): $1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -1$ - Elemento (2,1): $1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 0$ - Elemento (2,2): $1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 = -1$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices no existe la división; para "quitar" una matriz que multiplica por la izquierda, multiplicamos por su inversa por la izquierda en ambos lados de la ecuación. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$