Recta tangente, representación y área entre curvas

**a) [0’5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$.** Para hallar la recta tangente en $x = a$, utilizamos la fórmula: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. En este caso $a = 2$. 1. **Calculamos la ordenada del punto:** $$f(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3.$$ El punto de tangencia es $(2, 3)$. 2. **Calculamos la pendiente ($m = f'(2)$):** Derivamos la función: $f'(x) = -2x + 2$. $$f'(2) = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2.$$ 3. **Sustituimos en la ecuación:** $$y - 3 = -2(x - 2) \implies y = -2x + 4 + 3 \implies y = -2x + 7.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -2x + 7}$$

**b) [0’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$, la recta $2x + y - 7 = 0$ y el eje $OX$, calculando los puntos de corte.** Identificamos las funciones involucradas: - Curva (Parábola): $f(x) = -x^2 + 2x + 3$. - Recta: $r \equiv y = -2x + 7$. - Eje $OX$: $y = 0$. **Puntos de corte entre ellas:** 1. **Entre $f(x)$ y el eje $OX$ ($y=0$):** $-x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{-2 \pm 4}{-2} \implies x_1 = -1, x_2 = 3.$ Cortan en $(-1, 0)$ y $(3, 0)$. 2. **Entre la recta $r$ y el eje $OX$ ($y=0$):** $-2x + 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x = 3.5.$ Corta en $(3.5, 0)$. 3. **Entre $f(x)$ y la recta $r$:** $-x^2 + 2x + 3 = -2x + 7 \implies -x^2 + 4x - 4 = 0 \implies x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2.$ Como vimos en el apartado anterior, es el punto de tangencia $(2, 3)$. 💡 **Tip:** Al ser la recta tangente a la curva en $x=2$, ese es el único punto de contacto entre ambas.

Para esbozar la gráfica, sabemos que $f(x)$ es una parábola cóncava (hacia abajo) con vértice en $x = -b/2a = -2/-2 = 1$, punto $(1, 4)$. La recta pasa por $(2, 3)$ y $(3.5, 0)$. El recinto está delimitado por: - La parábola desde $x=2$ hasta $x=3$. - El eje $OX$ desde $x=3$ hasta $x=3.5$. - La recta desde $x=2$ hasta $x=3.5$. Este recinto se divide en dos partes al proyectarlo sobre el eje $OX$ para integrar. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = -x^2 + 2x + 3", "color": "#2563eb" }, { "id": "r", "latex": "g(x) = -2x + 7", "color": "#ef4444" }, { "id": "recinto", "latex": "0 \\le y \\le g(x) \\{2 \\le x \\le 3.5\\} \\{y \\ge f(x)\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -1, "top": 5 } } }

**c) [1’25 puntos] Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.** Observando el recinto, el área total $A$ se compone de dos regiones según el límite superior e inferior: 1. **Región 1 ($x \in [2, 3]$):** Limitada superiormente por la recta $y = -2x+7$ e inferiormente por la parábola $y = -x^2+2x+3$. $$A_1 = \int_{2}^{3} [(-2x + 7) - (-x^2 + 2x + 3)] \, dx = \int_{2}^{3} (x^2 - 4x + 4) \, dx$$ 2. **Región 2 ($x \in [3, 3.5]$):** Limitada superiormente por la recta $y = -2x+7$ e inferiormente por el eje $OX$ ($y=0$). Esta región es un triángulo de base $0.5$ y altura $1$ (valor de la recta en $x=3$), $$A_2 = \int_{3}^{3.5} (-2x + 7) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba cuál es la función "techo" y cuál la función "suelo" en cada intervalo de integración.

Calculamos cada parte aplicando la Regla de Barrow: **Para $A_1$:** $$A_1 = \int_{2}^{3} (x-2)^2 \, dx = \left[ \frac{(x-2)^3}{3} \right]_{2}^{3} = \left( \frac{(3-2)^3}{3} \right) - \left( \frac{(2-2)^3}{3} \right) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \text{ u}^2.$$ **Para $A_2$:** $$A_2 = \int_{3}^{3.5} (-2x + 7) \, dx = \left[ -x^2 + 7x \right]_{3}^{3.5}$$ $$A_2 = (-(3.5)^2 + 7 \cdot 3.5) - (-3^2 + 7 \cdot 3) = (-12.25 + 24.5) - (-9 + 21) = 12.25 - 12 = 0.25 = \frac{1}{4} \text{ u}^2.$$ **Área Total:** $$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12} \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{7}{12} \approx 0.583 \text{ u}^2}$$