Cálculo de parámetros en una función polinómica

La función $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ es una función polinómica, por lo que es continua y derivable en todo su dominio $\mathbb{R}$. Si $f$ tiene un máximo relativo en $x = -1$, la primera derivada en ese punto debe ser igual a cero: $$f'(-1) = 0$$ Primero, calculamos la derivada genérica de la función: $$f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$$ Sustituimos $x = -1$ e igualamos a cero: $$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2b(-1) + c = 3 - 2b + c = 0$$ Obtenemos nuestra primera ecuación: $$\boxed{-2b + c = -3 \quad \text{(Ecuación 1)}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones derivables, los extremos relativos (máximos y mínimos) se encuentran entre los puntos críticos donde $f'(x)=0$.

Analizamos la condición del límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4$$ Al evaluar el límite cuando $x \to 1$, el denominador tiende a $0$ ($1 - 1 = 0$). Para que el límite sea un valor finito (en este caso $4$), el numerador también debe tender a $0$ para evitar una indeterminación del tipo $k/0$ (que daría $\infty$). Por tanto, se debe cumplir que $f(1) = 0$: $$f(1) = 1^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 1 + b + c + d = 0$$ Obtenemos nuestra segunda ecuación: $$\boxed{b + c + d = -1 \quad \text{(Ecuación 2)}}$$ 💡 **Tip:** Si un límite de la forma $\frac{f(x)}{g(x)}$ con $g(x) \to 0$ es finito, entonces necesariamente $f(x) \to 0$.

Como tenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ en el límite, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{(x - 1)'} = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{1} = f'(1)$$ Según el enunciado, este límite es igual a $4$, por lo que: $$f'(1) = 4$$ Sustituimos en la expresión de la derivada $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$: $$f'(1) = 3(1)^2 + 2b(1) + c = 3 + 2b + c = 4$$ Simplificando, obtenemos la tercera ecuación: $$\boxed{2b + c = 1 \quad \text{(Ecuación 3)}}$$ 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital nos dice que $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si se cumple la indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$.

Ahora reunimos las ecuaciones obtenidas para hallar $b, c$ y $d$: 1) $-2b + c = -3$ 2) $2b + c = 1$ 3) $b + c + d = -1$ Sumamos las ecuaciones (1) y (3) para eliminar la variable $b$: $$(-2b + c) + (2b + c) = -3 + 1$$ $$2c = -2 \implies c = -1$$ Sustituimos $c = -1$ en la ecuación (3): $$2b + (-1) = 1 \implies 2b = 2 \implies b = 1$$ Finalmente, sustituimos $b = 1$ y $c = -1$ en la ecuación (2): $$1 + (-1) + d = -1 \implies d = -1$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados sustituyendo los valores en las ecuaciones originales.

Verificamos que en $x = -1$ hay efectivamente un máximo relativo usando la segunda derivada: $$f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$$ $$f''(x) = 6x + 2$$ Para $x = -1$: $$f''(-1) = 6(-1) + 2 = -4$$ Como $f''(-1) \lt 0$, confirmamos que hay un máximo relativo en dicho punto. Los valores de los parámetros son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{b = 1, \quad c = -1, \quad d = -1}$$ La función es $f(x) = x^3 + x^2 - x - 1$.