Coplanaridad, perpendicularidad y volumen de un tetraedro

**a) [1 punto] $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ están en el mismo plano.** Tres vectores son coplanarios (están en el mismo plano) si su **producto mixto** es igual a cero. Esto equivale a decir que el determinante de la matriz formada por sus componentes es nulo. Calculamos el determinante de la matriz formada por $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$: $$\text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 + \alpha & 2\alpha & 2 - 3\alpha \end{vmatrix}$$ Resolvemos aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por la primera fila: $$\text{det} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2\alpha & 2 - 3\alpha \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 + \alpha & 2 - 3\alpha \end{vmatrix} + 0$$ $$\text{det} = (2 - 3\alpha - 4\alpha) + (0 - 2(1 + \alpha))$$ $$\text{det} = 2 - 7\alpha - 2 - 2\alpha = -9\alpha$$ 💡 **Tip:** Tres vectores son linealmente dependientes (coplanarios) si y solo si el volumen del paralelepípedo que definen es cero, es decir, su producto mixto es cero. Para que sean coplanarios: $$-9\alpha = 0 \implies \alpha = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 0}$$

**b) [0’5 puntos] $\vec{w}$ es perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$.** Para que $\vec{w}$ sea perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ simultáneamente, el producto escalar de $\vec{w}$ con cada uno de ellos debe ser cero. 1) Condición $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$: $$(1 + \alpha, 2\alpha, 2 - 3\alpha) \cdot (1, -1, 0) = 0$$ $$(1 + \alpha) \cdot 1 + (2\alpha) \cdot (-1) + (2 - 3\alpha) \cdot 0 = 0$$ $$1 + \alpha - 2\alpha = 0 \implies 1 - \alpha = 0 \implies \alpha = 1$$ 2) Condición $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$: $$(1 + \alpha, 2\alpha, 2 - 3\alpha) \cdot (0, 1, 2) = 0$$ $$(1 + \alpha) \cdot 0 + (2\alpha) \cdot 1 + (2 - 3\alpha) \cdot 2 = 0$$ $$2\alpha + 4 - 6\alpha = 0 \implies 4 - 4\alpha = 0 \implies \alpha = 1$$ 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son perpendiculares si su producto escalar es cero: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0$. Como en ambos casos obtenemos el mismo valor, la solución es única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 1}$$

**c) [1 punto] El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ es 1/6.** El volumen de un tetraedro definido por tres vectores que parten de un mismo vértice se calcula como la sexta parte del valor absoluto de su producto mixto: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$$ En el apartado a) ya calculamos que el producto mixto es: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = -9\alpha$$ Sustituimos en la fórmula del volumen e igualamos a $1/6$: $$\frac{1}{6} |-9\alpha| = \frac{1}{6}$$ $$|-9\alpha| = 1$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto genera dos posibles soluciones para la ecuación $|x| = k \implies x = k$ o $x = -k$. Esto nos da dos posibilidades: 1) $-9\alpha = 1 \implies \alpha = -\frac{1}{9}$ 2) $-9\alpha = -1 \implies \alpha = \frac{1}{9}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \pm \frac{1}{9}}$$