Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & m+1 & 2 \\ m & 1 & 1 \\ 1-m & 2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & m+1 & 2 & -1 \\ m & 1 & 1 & m \\ 1-m & 2 & 1 & -m-1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando el rango de ambas matrices según los valores de $m$.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & m+1 & 2 \\ m & 1 & 1 \\ 1-m & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1\cdot 1 \cdot 1 + (m+1)\cdot 1 \cdot (1-m) + 2\cdot m \cdot 2] - [2\cdot 1 \cdot (1-m) + 1 \cdot 1 \cdot 2 + (m+1)\cdot m \cdot 1]$$ $$|A| = [1 + (1-m^2) + 4m] - [2-2m + 2 + m^2+m]$$ $$|A| = [2-m^2+4m] - [4-m+m^2]$$ $$|A| = 2-m^2+4m-4+m-m^2 = -2m^2+5m-2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-2m^2+5m-2 = 0 \implies 2m^2-5m+2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$$ Obtenemos dos valores: **$m_1 = 2$** y **$m_2 = \frac{1}{2}$**. 💡 **Tip:** El determinante es cero si y solo si las filas o columnas de la matriz son linealmente dependientes. Estos valores separan los casos de la discusión.

Si **$m \neq 2$** y **$m \neq \frac{1}{2}$**: El determinante $|A| \neq 0$, por lo tanto, el rango de la matriz de coeficientes es **$rg(A) = 3$**. Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 (tiene solo 3 filas) y contiene a $A$, entonces **$rg(A^*) = 3$**. Como $rg(A) = rg(A^*) = 3$ (número de incógnitas), según el Teorema de Rouché-Frobenius: $$\boxed{\text{Si } m \neq 2, \frac{1}{2}: \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si **$m = \frac{1}{2}$**: La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1.5 & 2 & -1 \\ 0.5 & 1 & 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 & 1 & -1.5 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1.5 \\ 0.5 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0.75 = 0.25 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ comprobando si un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes es distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1.5 & -1 \\ 0.5 & 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 & -1.5 \end{vmatrix} = [1(1)(-1.5) + 1.5(0.5)(0.5) + (-1)(0.5)(2)] - [(-1)(1)(0.5) + 1.5(0.5)(-1.5) + 1(0.5)(2)]$$ $$= [-1.5 + 0.375 - 1] - [-0.5 - 1.125 + 1] = -2.125 - (-0.625) = -1.5 \neq 0$$ Como $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$, el rango de la matriz de coeficientes es distinto al de la ampliada. $$\boxed{\text{Si } m = \frac{1}{2}: \text{Sistema Incompatible (SI)}}$$

Si **$m = 2$**: La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 & -3 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Comprobamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = [-3 - 6 - 4] - [-1 + 4 - 18] = -13 - (-15) = 2 \neq 0$$ *Nota corregida:* Volvamos a calcular cuidadosamente: $|M| = [1(1)(-3) + 3(2)(-1) + (-1)(2)(2)] - [(-1)(1)(-1) + 3(2)(-3) + 1(2)(2)]$ $= [-3 - 6 - 4] - [1 - 18 + 4] = -13 - (-13) = 0$. Como todos los menores de orden 3 son cero (las filas cumplen $F_3 = F_2 - F_1$), entonces $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas): $$\boxed{\text{Si } m = 2: \text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) [0’75 puntos] Resuélvelo para $m = 2$. Para dicho valor de $m$, calcula, si es posible, una solución en la que $z = 2$.** Para $m=2$, el sistema es Compatible Indeterminado con un grado de libertad. Usamos las dos primeras ecuaciones que forman el menor de orden 2 no nulo: $$\left. \begin{aligned} x + 3y + 2z &= -1 \\ 2x + y + z &= 2 \end{aligned} \right\}$$ Hacemos **$z = \lambda$** y pasamos al otro miembro: $$\left. \begin{aligned} x + 3y &= -1 - 2\lambda \\ 2x + y &= 2 - \lambda \end{aligned} \right\}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por -3 para eliminar la $y$: $$\left. \begin{aligned} x + 3y &= -1 - 2\lambda \\ -6x - 3y &= -6 + 3\lambda \end{aligned} \right\} \implies -5x = -7 + \lambda \implies \mathbf{x = \frac{7 - \lambda}{5}}$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación original: $$y = 2 - \lambda - 2x = 2 - \lambda - 2\left(\frac{7-\lambda}{5}\right) = \frac{10 - 5\lambda - 14 + 2\lambda}{5} = \mathbf{\frac{-4 - 3\lambda}{5}}$$ La solución general para $m=2$ es: $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{7 - \lambda}{5}, \frac{-4 - 3\lambda}{5}, \lambda \right)}$$

Para encontrar la solución donde **$z = 2$**, simplemente asignamos el valor **$\lambda = 2$** en nuestra solución general: $$x = \frac{7 - 2}{5} = \frac{5}{5} = 1$$ $$y = \frac{-4 - 3(2)}{5} = \frac{-10}{5} = -2$$ $$z = 2$$ Comprobamos en la tercera ecuación del sistema original: $(1-2)x + 2y + z = -1(1) + 2(-2) + 2 = -1 - 4 + 2 = -3$. Y el término independiente era $-m-1 = -2-1 = -3$. Es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (1, -2, 2)}$$