Integral definida de una función logarítmica

Para resolver la integral $\int \ln(4 - x)dx$, observamos que se trata de una función logarítmica

Aplicamos el método de integración por partes: Elegimos: - $u = \ln(4 - x) \implies du = \dfrac{-1}{4 - x} dx = \dfrac{1}{x - 4} dx$ - $dv = dx \implies v = x$ Sustituyendo en la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln(4 - x) dx = x \ln(4 - x) - \int x \cdot \frac{1}{x - 4} dx$$ $$\int \ln(4 - x) dx = x \ln(4 - x) - \int \frac{x}{x - 4} dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "**S**olo **U**n **D**ía **V**i **U**n **V**aliente **S**oldado **D**e **U**niformey" para la integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Para resolver $\int \frac{x}{x - 4} dx$, realizamos una división de polinomios o un ajuste sencillo en el numerador: $$\frac{x}{x - 4} = \frac{x - 4 + 4}{x - 4} = \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{x - 4} = 1 + \frac{4}{x - 4}$$ Ahora integramos término a término: $$\int \left( 1 + \frac{4}{x - 4} \right) dx = x + 4 \ln|x - 4|$$ Sustituimos este resultado en la expresión de la integral original: $$\int \ln(4 - x) dx = x \ln(4 - x) - (x + 4 \ln|x - 4|) + C$$ $$\int \ln(4 - x) dx = x \ln(4 - x) - x - 4 \ln(4 - x) + C$$ (Puesto que en el intervalo $[-1, 1]$, $4-x$ siempre es positivo, $|x-4| = 4-x$). Simplificando la primitiva $F(x)$: $$\boxed{F(x) = (x - 4) \ln(4 - x) - x}$$

Una vez hallada la primitiva, calculamos la integral definida en el intervalo $[-1, 1]$ aplicando la **Regla de Barrow**: $$I = \int_{-1}^1 \ln(4 - x) dx = \left[ (x - 4) \ln(4 - x) - x \right]_{-1}^1$$ Calculamos los valores en los límites superior e inferior: - Para $x = 1$: $$F(1) = (1 - 4) \ln(4 - 1) - 1 = -3 \ln(3) - 1$$ - Para $x = -1$: $$F(-1) = (-1 - 4) \ln(4 - (-1)) - (-1) = -5 \ln(5) + 1$$ Restamos ambos valores: $$I = F(1) - F(-1) = (-3 \ln 3 - 1) - (-5 \ln 5 + 1)$$ $$I = -3 \ln 3 - 1 + 5 \ln 5 - 1 = 5 \ln 5 - 3 \ln 3 - 2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{-1}^1 \ln(4 - x)dx = 5 \ln 5 - 3 \ln 3 - 2 \approx 2{,}75}$$