Máxima pendiente y recta normal

**a) [1’75 puntos] Determina el punto de la gráfica de $f$ en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.** La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en un punto de abscisa $x$ viene dada por el valor de su derivada $f'(x)$. Por tanto, buscamos el máximo de la función $m(x) = f'(x)$. Primero, derivamos $f(x) = \frac{1}{2}x^{-1} + \ln x$: $$f'(x) = -\frac{1}{2}x^{-2} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x}$$ Para trabajar más cómodamente, unificamos en una sola fracción: $$m(x) = f'(x) = \frac{-1 + 2x}{2x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en $x=a$ es siempre $f'(a)$.

Para encontrar el valor de $x$ que maximiza la pendiente $m(x)$, debemos derivar $m(x)$ (que es la segunda derivada de $f$) e igualar a cero: $$m'(x) = f''(x) = \left( -\frac{1}{2}x^{-2} + x^{-1} \right)' = x^{-3} - x^{-2} = \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^2}$$ Simplificamos la expresión: $$f''(x) = \frac{1 - x}{x^3}$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $$f''(x) = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1$$ Como el dominio de la función es $x \gt 0$, el único punto crítico a considerar es $x = 1$.

Analizamos si en $x=1$ existe un máximo relativo de la pendiente estudiando el signo de $f''(x)$ en los intervalos del dominio $(0, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f''(x) = \frac{1-x}{x^3} & + & 0 & -\\\hline m(x) = f'(x) & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 1)$, $f''(x) \gt 0$, por lo que la pendiente $f'(x)$ es creciente. - En el intervalo $(1, +\infty)$, $f''(x) \lt 0$, por lo que la pendiente $f'(x)$ es decreciente. Por tanto, en **$x = 1$** la pendiente de la recta tangente alcanza su valor **máximo**.

El enunciado nos pide el punto de la gráfica, por lo que debemos calcular también la ordenada $y$ sustituyendo $x=1$ en la función original $f(x)$: $$y = f(1) = \frac{1}{2(1)} + \ln(1) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$$ El punto buscado es $P\left(1, \frac{1}{2}\right)$. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P\left(1, \frac{1}{2}\right)}$$

**b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** La recta normal en $x=a$ es perpendicular a la recta tangente. Su pendiente $m_n$ cumple: $$m_n = -\frac{1}{f'(a)}$$ Ya hemos calculado en el apartado anterior que el punto es $\left(1, \frac{1}{2}\right)$. Calculamos la pendiente de la tangente en $x=1$: $$m_t = f'(1) = \frac{-1 + 2(1)}{2(1)^2} = \frac{1}{2}$$ Por tanto, la pendiente de la normal es: $$m_n = -\frac{1}{1/2} = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición de perpendicularidad entre dos rectas es que el producto de sus pendientes sea $-1$ ($m_t \cdot m_n = -1$).

Utilizamos la ecuación punto-pendiente con $x_0 = 1$, $y_0 = 1/2$ y $m_n = -2$: $$y - y_0 = m_n(x - x_0) \implies y - \frac{1}{2} = -2(x - 1)$$ Operamos para obtener la ecuación explícita: $$y = -2x + 2 + \frac{1}{2} \implies y = -2x + \frac{5}{2}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{y = -2x + \frac{5}{2}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{1}{2x} + \\ln x \\{x > 0\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "p", "latex": "P=(1, 0.5)", "color": "#111827", "showLabel": true }, { "id": "normal", "latex": "y = -2x + 2.5", "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -2, "top": 3 } } }