Posición relativa de dos rectas y plano paralelo

**a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero, extraemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, que viene dada en su forma continua: $$\frac{x - (-2)}{2} = \frac{y - (-1)}{1} = \frac{z - 1}{-3}$$ De aquí obtenemos: - Punto de $r$: $P_r(-2, -1, 1)$ - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (2, 1, -3)$ 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

Para la recta $s$, expresada como intersección de dos planos, vamos a obtener su vector director y un punto. Podemos hacerlo pasando a paramétricas resolviendo el sistema en función de un parámetro $t$. Si hacemos $y = t$: 1. $x - t - 3 = 0 \implies x = 3 + t$ 2. $3t - z + 6 = 0 \implies z = 6 + 3t$ La recta $s$ en paramétricas es: $$\begin{cases} x = 3 + t \\ y = t \\ z = 6 + 3t \end{cases}$$ De aquí obtenemos: - Punto de $s$: $P_s(3, 0, 6)$ - Vector director de $s$: $\vec{v}_s = (1, 1, 3)$ 💡 **Tip:** También se puede obtener $\vec{v}_s$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta.

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (2, 1, -3)$ y $\vec{v}_s = (1, 1, 3)$ para ver si son paralelos: $$\frac{2}{1} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{-3}{3}$$ Como sus componentes no son proporcionales, los vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas **se cortan o se cruzan**.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une ambos puntos $\vec{P_r P_s}$. Primero calculamos $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (3 - (-2), 0 - (-1), 6 - 1) = (5, 1, 5)$$ Ahora calculamos el determinante: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 5 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\det = (2 \cdot 1 \cdot 5) + (1 \cdot 3 \cdot 5) + (-3 \cdot 1 \cdot 1) - [(-3 \cdot 1 \cdot 5) + (2 \cdot 3 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 5)]$$ $$\det = (10 + 15 - 3) - (-15 + 6 + 5) = 22 - (-4) = 26$$ Como el determinante es distinto de cero ($26 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) [1’5 puntos] Halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.** Un plano $\pi$ queda determinado por un punto y dos vectores directores linealmente independientes contenidos o paralelos a él. - Como contiene a $r$, el plano pasa por $P_r(-2, -1, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (2, 1, -3)$. - Como es paralelo a $s$, el plano tiene como segundo vector director $\vec{v}_s = (1, 1, 3)$. La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos anteriores: $$\begin{vmatrix} x - (-2) & y - (-1) & z - 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x + 2 & y + 1 & z - 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$$

Desarrollamos el determinante por los elementos de la primera fila: $$(x+2) \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - (y+1) \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (z-1) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: $$(x+2)(3 - (-3)) - (y+1)(6 - (-3)) + (z-1)(2 - 1) = 0$$ $$6(x+2) - 9(y+1) + 1(z-1) = 0$$ Operamos para obtener la forma $Ax + By + Cz + D = 0$: $$6x + 12 - 9y - 9 + z - 1 = 0$$ $$6x - 9y + z + 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Puedes verificar que el plano es correcto comprobando que el vector normal $\vec{n}=(6, -9, 1)$ es perpendicular a $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ mediante el producto escalar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{6x - 9y + z + 2 = 0}$$