Cálculo de matriz inversa y resolución de ecuación matricial

**a) [0’5 puntos] Calcula $A^{-1}$.** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 0) + (0 \cdot 1 \cdot 2) + (2 \cdot 1 \cdot 3) - [ (2 \cdot 1 \cdot 2) + (3 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 1 \cdot 0) ]$$ $$|A| = 0 + 0 + 6 - (4 + 3 + 0) = 6 - 7 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que la condición necesaria y suficiente para que exista $A^{-1}$ es que $\det(A) \neq 0$.

Calculamos la matriz de los adjuntos de $A$, denotada como $Adj(A)$, calculando los determinantes menores de cada elemento con su signo correspondiente: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -3$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3-2 = 1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(-6) = 6$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -4$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -3$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1-2) = 1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 6 & -4 & -3 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Trasponemos la matriz adjunta: $$Adj(A)^t = \begin{pmatrix} -3 & 6 & -2 \\ 2 & -4 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$

Aplicamos la fórmula de la inversa: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)^t$ $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -3 & 6 & -2 \\ 2 & -4 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 2 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 2 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) [2 puntos] Halla la matriz $X$ que verifica que $A^tX + B = I$, siendo $I$ la matriz identidad y $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación matricial paso a paso: 1. Restamos $B$ en ambos lados: $$A^tX = I - B$$ 2. Multiplicamos por la izquierda por $(A^t)^{-1}$: $$(A^t)^{-1}A^tX = (A^t)^{-1}(I - B)$$ $$X = (A^t)^{-1}(I - B)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en álgebra matricial el orden de los factores importa. Como $A^t$ está a la izquierda de $X$, multiplicamos por su inversa también por la izquierda.

Necesitamos $(A^t)^{-1}$ e $(I - B)$. Usaremos la propiedad: **$(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$**. Como ya tenemos $A^{-1}$, simplemente la trasponemos: $$(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -6 & 4 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz $C = I - B$: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 & 0-0 & 0-(-3) \\ 0-3 & 1-(-1) & 0-(-3) \\ 0-(-1) & 0-(-2) & 1-(-1) \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = (A^t)^{-1} \cdot C$: $$X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -6 & 4 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - $x_{11} = 3(-1) + (-2)(-3) + (-1)(1) = -3 + 6 - 1 = 2$ - $x_{12} = 3(0) + (-2)(2) + (-1)(2) = 0 - 4 - 2 = -6$ - $x_{13} = 3(3) + (-2)(3) + (-1)(2) = 9 - 6 - 2 = 1$ - $x_{21} = (-6)(-1) + 4(-3) + 3(1) = 6 - 12 + 3 = -3$ - $x_{22} = (-6)(0) + 4(2) + 3(2) = 0 + 8 + 6 = 14$ - $x_{23} = (-6)(3) + 4(3) + 3(2) = -18 + 12 + 6 = 0$ - $x_{31} = 2(-1) + (-1)(-3) + (-1)(1) = -2 + 3 - 1 = 0$ - $x_{32} = 2(0) + (-1)(2) + (-1)(2) = 0 - 2 - 2 = -4$ - $x_{33} = 2(3) + (-1)(3) + (-1)(2) = 6 - 3 - 2 = 1$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -6 & 1 \\ -3 & 14 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \end{pmatrix}}$$