Área de un recinto limitado por dos parábolas y una recta

**a) [1 punto] Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.** Para delimitar el recinto, primero buscamos los puntos de intersección entre las tres curvas dadas: $f(x) = x^2$, $g(x) = 2 - x^2$ y $h(x) = 4$. 1. **Intersección entre $f(x)$ y $g(x)$:** $$x^2 = 2 - x^2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Los puntos son $(-1, 1)$ y $(1, 1)$. 2. **Intersección entre $f(x)$ y $h(x)$:** $$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Los puntos son $(-2, 4)$ y $(2, 4)$. 3. **Intersección entre $g(x)$ y $h(x)$:** $$2 - x^2 = 4 \implies x^2 = -2$$ Esta ecuación no tiene soluciones reales, por lo que la parábola $y = 2 - x^2$ y la recta $y = 4$ no se cortan. 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para calcular el área en el siguiente apartado. $$\boxed{\text{Puntos de corte: } (-1,1), (1,1), (-2,4), (2,4)}$$

Utilizando los puntos de corte y analizando la forma de las funciones: - $y = x^2$ es una parábola con vértice en $(0,0)$ abierta hacia arriba. - $y = 2 - x^2$ es una parábola con vértice en $(0,2)$ abierta hacia abajo. - $y = 4$ es una recta horizontal. El recinto está limitado superiormente por $y = 4$ e inferiormente por las dos parábolas. Debido a la simetría respecto al eje $Y$ ($x=0$), podemos calcular el área de la mitad derecha y multiplicar por 2.

**b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto.** El área total $A$ se divide en regiones según qué curva actúa como límite inferior. Aprovechando la simetría respecto al eje $OY$: $$A = 2 \cdot \left[ \int_{0}^{1} (\text{techo} - \text{suelo}_1) \, dx + \int_{1}^{2} (\text{techo} - \text{suelo}_2) \, dx \right]$$ Donde: - En $[0, 1]$, el techo es $y = 4$ y el suelo es $y = 2 - x^2$. - En $[1, 2]$, el techo es $y = 4$ y el suelo es $y = x^2$. Planteamos las integrales: $$A = 2 \cdot \left[ \int_{0}^{1} (4 - (2 - x^2)) \, dx + \int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx \right]$$ $$A = 2 \cdot \left[ \int_{0}^{1} (2 + x^2) \, dx + \int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx \right]$$ 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$. Es fundamental identificar correctamente cuál es la función superior (techo) y cuál la inferior (suelo).

Calculamos cada parte por separado aplicando la Regla de Barrow: 1. Primera parte ($I_1$): $$\int_{0}^{1} (2 + x^2) \, dx = \left[ 2x + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( 2(1) + \frac{1^3}{3} \right) - (0) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ 2. Segunda parte ($I_2$): $$\int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(1) - \frac{1^3}{3} \right)$$ $$I_2 = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( 4 - \frac{1}{3} \right) = \frac{16}{3} - \frac{11}{3} = \frac{5}{3}$$ Suma de las áreas parciales: $$I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{7}{3} + \frac{5}{3} = \frac{12}{3} = 4$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Finalmente, multiplicamos por 2 para obtener el área completa del recinto simétrico: $$A = 2 \cdot 4 = 8 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 8 \text{ u}^2}$$