Continuidad, derivabilidad con parámetros y recta tangente

**a) [1’75 puntos] Calcula $a$ y $b$.** Para que la función sea derivable en $\mathbb{R}$, primero debe ser continua en todo su dominio. El único punto de posible discontinuidad es el salto entre ramas en $x=0$. Para que $f$ sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $f(0) = a(0) + b = b$ 2. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (ax + b) = b$ 3. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}$ Evaluamos el límite por la izquierda. Al sustituir $x=0$ obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \left[ \frac{1-1}{0} \right] = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(e^x - e^{-x})'}{(2x)'} = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$$ Para que sea continua, igualamos los resultados: $b = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no asegura la derivabilidad. Siempre comprobamos la continuidad primero. $$\boxed{b = 1}$$

Una vez que sabemos que $b=1$, estudiamos la derivabilidad en $x=0$. La función debe tener derivadas laterales finitas e iguales. Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: - Si $x > 0$: $f'(x) = a$ - Si $x < 0$, usamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(e^x + e^{-x}) \cdot 2x - (e^x - e^{-x}) \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{2[x(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})]}{4x^2} = \frac{x(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})}{2x^2}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x=0$: 1. $f'(0^+) = a$ 2. $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})}{2x^2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$ Aplicamos L'Hôpital de nuevo en el límite de la izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{[x(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})]'}{(2x^2)'} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1(e^x + e^{-x}) + x(e^x - e^{-x}) - (e^x + e^{-x})}{4x}$$ Simplificamos: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{x(e^x - e^{-x})}{4x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x - e^{-x}}{4} = \frac{1-1}{4} = 0$$ Igualamos las derivadas laterales para que sea derivable: $a = 0$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 0, \quad b = 1}$$

**b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$.** Como $x = -1 \lt 0$, trabajamos con la primera rama de la función: $$f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2x}$$ Necesitamos el punto de tangencia $(-1, f(-1))$ y la pendiente $m = f'(-1)$. **1. Punto de tangencia:** $$f(-1) = \frac{e^{-1} - e^{-(-1)}}{2(-1)} = \frac{e^{-1} - e}{-2} = \frac{e - e^{-1}}{2}$$ **2. Pendiente (usando la derivada calculada en el paso anterior):** $$f'(x) = \frac{x(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})}{2x^2}$$ $$f'(-1) = \frac{-1(e^{-1} + e^1) - (e^{-1} - e^1)}{2(-1)^2} = \frac{-e^{-1} - e - e^{-1} + e}{2} = \frac{-2e^{-1}}{2} = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$$ **3. Ecuación de la recta tangente:** Usamos la fórmula $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$: $$y - \frac{e - e^{-1}}{2} = -\frac{1}{e}(x + 1)$$ 💡 **Tip:** Puedes dejarla en forma punto-pendiente o simplificarla. Operando un poco: $$y = -\frac{1}{e}x - \frac{1}{e} + \frac{e}{2} - \frac{1}{2e} = -\frac{1}{e}x + \frac{e^2 - 3}{2e}$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y - \frac{e - e^{-1}}{2} = -\frac{1}{e}(x + 1)}$$