Vectores, ortogonalidad e independencia lineal

**a) [0’75 puntos] Calcula los valores de $\lambda$ que hacen que $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sean ortogonales.** Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es igual a cero: $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$. Dados $\vec{u} = (1, -1, 3)$ y $\vec{w} = (\lambda, 1, 0)$, calculamos su producto escalar componente a componente: $$\vec{u} \cdot \vec{w} = (1)(\lambda) + (-1)(1) + (3)(0)$$ $$\vec{u} \cdot \vec{w} = \lambda - 1$$ Para que sean ortogonales, igualamos a cero: $$\lambda - 1 = 0 \implies \lambda = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto escalar de dos vectores $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ y $\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$ se calcula como $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 1}$$

**b) [0’75 puntos] Calcula los valores de $\lambda$ que hacen que $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente independientes.** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente independientes si el determinante de la matriz formada por sus componentes es distinto de cero. Formamos el determinante con los vectores $\vec{u} = (1, -1, 3)$, $\vec{v} = (1, 0, -1)$ y $\vec{w} = (\lambda, 1, 0)$ dispuestos por filas: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ \lambda & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [(1)(0)(0) + (-1)(-1)(\lambda) + (3)(1)(1)] - [(\lambda)(0)(3) + (1)(-1)(1) + (0)(1)(-1)]$$ $$|A| = [0 + \lambda + 3] - [0 - 1 + 0]$$ $$|A| = \lambda + 3 + 1 = \lambda + 4$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, los vectores son linealmente dependientes (están en el mismo plano o son proporcionales). Si es distinto de cero, forman una base de $\mathbb{R}^3$. Para que sean linealmente independientes: $$\lambda + 4 \neq 0 \implies \lambda \neq -4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{-4\}}$$

**c) [1 punto] Para $\lambda = 1$ escribe el vector $\vec{r} = (3, 0, 2)$ como combinación lineal de $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.** Si $\lambda = 1$, el vector $\vec{w}$ es $(1, 1, 0)$. Buscamos los escalares $a, b, c$ tales que: $$\vec{r} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$$ $$(3, 0, 2) = a(1, -1, 3) + b(1, 0, -1) + c(1, 1, 0)$$ Igualando componente a componente, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} a + b + c = 3 \\ -a + c = 0 \\ 3a - b = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Escribir un vector como combinación lineal de otros consiste en resolver un sistema donde las incógnitas son los coeficientes de dicha combinación.

Resolvemos el sistema paso a paso: $$\begin{cases} (1) \quad a + b + c = 3 \\ (2) \quad -a + c = 0 \implies a = c \\ (3) \quad 3a - b = 2 \implies b = 3a - 2 \end{cases}$$ Sustituimos las expresiones de $c$ y $b$ obtenidas en las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1): $$a + (3a - 2) + a = 3$$ $$5a - 2 = 3$$ $$5a = 5 \implies \mathbf{a = 1}$$ Ahora calculamos el resto de valores: Como $c = a$, entonces $\mathbf{c = 1}$. Como $b = 3a - 2$, entonces $b = 3(1) - 2 \implies \mathbf{b = 1}$. Por tanto, la combinación lineal es: $$\vec{r} = 1\vec{u} + 1\vec{v} + 1\vec{w}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{r} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}}$$