Propiedades de los determinantes

**a) [1 punto] $\det(-2A)$ y $\det(A^{-1})$.** Para calcular $\det(-2A)$, utilizamos la propiedad que establece que si $A$ es una matriz de orden $n$, entonces $\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)$. En este caso, la matriz $A$ es de orden $3 \times 3$ (es decir, $n=3$) y el escalar es $k = -2$. Sabemos por el enunciado que $\det(A) = -3$. Aplicamos la fórmula: $$\det(-2A) = (-2)^3 \cdot \det(A)$$ $$\det(-2A) = -8 \cdot (-3) = 24$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al multiplicar una matriz por un número, todas sus filas quedan multiplicadas por dicho número. Como el determinante es una forma multilineal, cada vez que sale un factor de una fila, multiplica al determinante total. De ahí el exponente $n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(-2A) = 24}$$

Para calcular $\det(A^{-1})$, aplicamos la propiedad que relaciona el determinante de una matriz con el de su inversa: $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$. Sustituimos el valor conocido $\det(A) = -3$: $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$$ Esta propiedad se deriva de que $A \cdot A^{-1} = I$ y del teorema de Binet, que dice que $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$. Como $\det(I) = 1$, entonces $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(A^{-1}) = -\frac{1}{3}}$$

**b) [1’5 puntos] $\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 7a_{11} & 7a_{12} & 7a_{13} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} + 2a_{31} & 5a_{31} \\ a_{12} & a_{22} + 2a_{32} & 5a_{32} \\ a_{13} & a_{23} + 2a_{33} & 5a_{33} \end{vmatrix}$.** Vamos a resolver el primer determinante aplicando propiedades de filas paso a paso para transformarlo en el determinante de $A$. 1. Intercambiamos la primera y la segunda fila ($F_1 \leftrightarrow F_2$). Al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo: $$\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 7a_{11} & 7a_{12} & 7a_{13} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 7a_{11} & 7a_{12} & 7a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}$$ 2. Extraemos los factores comunes de las filas $F_1$ (factor 7) y $F_3$ (factor 2). Si una fila está multiplicada por un número, este sale multiplicando fuera del determinante: $$- (7 \cdot 2) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = -14 \cdot \det(A)$$ 3. Sustituimos $\det(A) = -3$: $$-14 \cdot (-3) = 42$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{42}$$

Para el segundo determinante, observamos que los elementos corresponden a la matriz traspuesta de $A$ ($A^T$) con algunas modificaciones. Recordemos que $\det(A) = \det(A^T)$. Sea $A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}$. El determinante dado es: $$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} + 2a_{31} & 5a_{31} \\ a_{12} & a_{22} + 2a_{32} & 5a_{32} \\ a_{13} & a_{23} + 2a_{33} & 5a_{33} \end{vmatrix}$$ 1. **Propiedad de suma de columnas:** El determinante de una suma de vectores columna es igual a la suma de los determinantes: $$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & 5a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & 5a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & 5a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & 2a_{31} & 5a_{31} \\ a_{12} & 2a_{32} & 5a_{32} \\ a_{13} & 2a_{33} & 5a_{33} \end{vmatrix}$$ 2. Analizamos el segundo sumando: las columnas $C_2$ y $C_3$ son proporcionales ($C_3 = \frac{5}{2} C_2$). Un determinante con dos columnas proporcionales es **cero**. 3. Trabajamos con el primer sumando. Extraemos el factor 5 de la tercera columna ($C_3$): $$D = 5 \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$$ Este determinante es exactamente $\det(A^T)$. Como $\det(A^T) = \det(A) = -3$: $$D = 5 \cdot (-3) = -15$$ 💡 **Tip:** Otra forma rápida es aplicar la propiedad: "el determinante no varía si a una columna le sumamos una combinación lineal de las demás". Si a $C_2$ le restamos $\frac{2}{5} C_3$, obtenemos directamente la matriz con $a_{21}, a_{22}, a_{23}$ en la segunda columna. ✅ **Resultado:** $$\boxed{-15}$$