Determinación de una función derivable a partir de su derivada

Para encontrar la función $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida en cada uno de los tramos. Para el primer tramo ($x \lt 0$): $$f(x) = \int (x^2 - 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + C_1$$ Para el segundo tramo ($x \ge 0$): $$f(x) = \int (e^x - 1) \, dx = e^x - x + C_2$$ Por tanto, la expresión general de la función es: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3}{3} - x^2 + C_1 & \text{si } x \lt 0 \\ e^x - x + C_2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Donde $C_1$ y $C_2$ son constantes reales que debemos determinar con las condiciones del enunciado. 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una suma es la suma de las integrales y que $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ y $\int e^x \, dx = e^x$.

Utilizamos el dato $f(1) = -1$. Como $x = 1$ pertenece al dominio del segundo tramo ($x \ge 0$), sustituimos en dicha rama: $$f(1) = e^1 - 1 + C_2 = -1$$ Resolvemos para $C_2$: $$e - 1 + C_2 = -1$$ $$C_2 = -1 + 1 - e$$ $$C_2 = -e$$ Sustituyendo el valor de $C_2$, la función en ese tramo queda como: $$f(x) = e^x - x - e \quad \text{si } x \ge 0$$ $$\boxed{C_2 = -e}$$

El enunciado afirma que $f$ es una función **derivable** en $\mathbb{R}$. Una condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que sea **continua** en dicho punto. Para que $f$ sea continua en $x = 0$, los límites laterales deben coincidir: 1. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \dfrac{x^3}{3} - x^2 + C_1 \right) = C_1$ 2. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (e^x - x - e) = e^0 - 0 - e = 1 - e$ 3. El valor de la función coincide con el límite por la derecha: $f(0) = 1 - e$ Igualamos los límites para asegurar la continuidad: $$C_1 = 1 - e$$ 💡 **Tip:** Si una función es derivable en un intervalo, obligatoriamente debe ser continua en todos los puntos de ese intervalo. Esto nos permite relacionar las constantes de integración entre ramas.

Ya tenemos ambas constantes. La función resultante es: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3}{3} - x^2 + 1 - e & \text{si } x \lt 0 \\ e^x - x - e & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Solo falta verificar que es derivable en $x = 0$ (aunque el enunciado ya lo garantiza): - $f'(0^-) = 0^2 - 2(0) = 0$ - $f'(0^+) = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ Como $f'(0^-) = f'(0^+)$, la función es derivable en $x=0$ con $f'(0)=0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3}{3} - x^2 + 1 - e & \text{si } x \lt 0 \\ e^x - x - e & \text{si } x \ge 0 \end{cases}}$$