Cálculo de parámetro para un límite finito

Para resolver el límite, primero observamos que si evaluamos directamente en $x=1$: $$\lim_{x o 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{a}{\ln x} \right) = \left[ \frac{1}{0} - \frac{a}{0} \right] = \infty - \infty.$$ Se trata de una indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para poder aplicar la regla de L'Hôpital, debemos transformar la expresión en una única fracción mediante el común denominador: $$\lim_{x o 1} \left( \frac{x \ln x - a(x-1)}{(x-1) \ln x} ight).$$ 💡 **Tip:** Ante una resta de fracciones que genera $\infty - \infty$, el primer paso suele ser operar para obtener un solo cociente y así poder identificar una indeterminación del tipo $0/0$ o $\infty/\infty$.

Analizamos el límite obtenido: $$\lim_{x o 1} \frac{x \ln x - a(x-1)}{(x-1) \ln x} = \left[ \frac{1 \cdot 0 - a(0)}{0 \cdot 0} \right] = \frac{0}{0}.$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $(x \ln x - ax + a)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - a = \ln x + 1 - a$. - Derivada del denominador: $((x-1) \ln x)' = 1 \cdot \ln x + (x-1) \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 - \frac{1}{x}$. Por tanto: $$\lim_{x o 1} \frac{x \ln x - a(x-1)}{(x-1) \ln x} = \lim_{x o 1} \frac{\ln x + 1 - a}{\ln x + 1 - \frac{1}{x}}.$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este existe.

Evaluamos el límite resultante cuando $x o 1$: $$\lim_{x o 1} \frac{\ln x + 1 - a}{\ln x + 1 - \frac{1}{x}} = \frac{\ln(1) + 1 - a}{\ln(1) + 1 - \frac{1}{1}} = \frac{1 - a}{0}.$$ El enunciado afirma que el límite es **finito**. Para que un límite con denominador $0$ sea finito, el numerador debe ser necesariamente $0$ (generando una nueva indeterminación $0/0$ que se pueda resolver). Si el numerador fuera distinto de cero, el resultado sería $\infty$. Por tanto: $$1 - a = 0 \implies a = 1.$$ ✅ **Resultado (parámetro):** $$\boxed{a = 1}$$

Sustituimos $a = 1$ en la expresión derivada y calculamos el límite: $$\lim_{x o 1} \frac{\ln x + 1 - 1}{\ln x + 1 - \frac{1}{x}} = \lim_{x o 1} \frac{\ln x}{\ln x + 1 - x^{-1}}.$$ Como hemos forzado la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez: - Nueva derivada del numerador: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. - Nueva derivada del denominador: $(\ln x + 1 - x^{-1})' = \frac{1}{x} + 0 - (-x^{-2}) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$. Calculamos el límite: $$\lim_{x o 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1^2}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.$$ ✅ **Resultado (valor del límite):** $$\boxed{L = \frac{1}{2}}$$