Posición relativa de recta y plano y construcción de planos auxiliares

**a) [0’5 puntos] Determina la posición relativa de $\pi$ y $r$.** Primero, extraemos el vector normal del plano $\pi$ y el vector director y un punto de la recta $r$: - Plano $\pi: 2x + y - z + 2 = 0 \implies \vec{n}_\pi = (2, 1, -1)$ - Recta $r: \frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 6}{-3} \implies \vec{v}_r = (-2, 1, -3)$ y $P_r(5, 0, 6)$ Para estudiar la posición relativa, calculamos el producto escalar $\vec{n}_\pi \cdot \vec{v}_r$: $$\vec{n}_\pi \cdot \vec{v}_r = (2) \cdot (-2) + (1) \cdot (1) + (-1) \cdot (-3) = -4 + 1 + 3 = 0$$ Como el producto escalar es cero, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. Esto significa que la recta $r$ es **paralela al plano $\pi$ o está contenida en él**. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, la recta y el plano no se cortan en un único punto; son paralelos o la recta está dentro del plano.

Para distinguir entre ambos casos, comprobamos si el punto $P_r(5, 0, 6)$ de la recta pertenece al plano $\pi$ sustituyéndolo en su ecuación: $$2(5) + (0) - (6) + 2 = 10 - 6 + 2 = 6 \neq 0$$ Como $P_r \notin \pi$, la recta no está contenida en el plano. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ es paralela al plano } \pi}$$

**b) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.** Sea $\pi_1$ el plano buscado. Si $\pi_1$ contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$, su vector normal $\vec{n}_1$ debe ser perpendicular simultáneamente al vector director de la recta $\vec{v}_r$ y al vector normal del plano original $\vec{n}_\pi$. Calculamos $\vec{n}_1$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_1 = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_1 = \vec{i} \cdot 1 \cdot (-1) + \vec{j} \cdot (-3) \cdot 2 + \vec{k} \cdot (-2) \cdot 1 - [\vec{k} \cdot 1 \cdot 2 + \vec{i} \cdot (-3) \cdot 1 + \vec{j} \cdot (-2) \cdot (-1)]$$ $$\vec{n}_1 = -\vec{i} - 6\vec{j} - 2\vec{k} - [2\vec{k} - 3\vec{i} + 2\vec{j}] = 2\vec{i} - 8\vec{j} - 4\vec{k}$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 2: $\vec{n}_1 = (1, -4, -2)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{A} \times \vec{B}$ genera un vector perpendicular a ambos.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_1 = (1, -4, -2)$ y el punto $P_r(5, 0, 6)$ de la recta (ya que el plano la contiene): $$1(x - 5) - 4(y - 0) - 2(z - 6) = 0$$ $$x - 5 - 4y - 2z + 12 = 0$$ $$x - 4y - 2z + 7 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación general):** $$\boxed{x - 4y - 2z + 7 = 0}$$

**c) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$.** Sea $\pi_2$ el plano buscado. Para que sea paralelo a $\pi$ y contenga a $r$, debe cumplirse que: 1. Su vector normal sea el mismo que el de $\pi$: $\vec{n}_\pi = (2, 1, -1)$. 2. Contenga al punto $P_r(5, 0, 6)$. Para obtener las **ecuaciones paramétricas**, necesitamos dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que sean paralelos al plano (es decir, perpendiculares a su normal) y linealmente independientes. - Como el plano contiene a $r$, podemos tomar $\vec{u} = \vec{v}_r = (-2, 1, -3)$. - Como el plano es paralelo a $\pi$, necesitamos otro vector $\vec{v}$ tal que $\vec{v} \cdot \vec{n}_\pi = 0$. Buscamos uno sencillo, por ejemplo, que tenga una componente nula: $(x, y, 0)$. $$2x + y = 0 \implies \text{si } x = 1, y = -2.$$ Elegimos $\vec{v} = (1, -2, 0)$. Comprobamos que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales (lo cual es evidente). 💡 **Tip:** Un plano queda definido por un punto $P$ y dos vectores directores $\vec{u}, \vec{v}$ mediante $\vec{X} = P + \lambda\vec{u} + \mu\vec{v}$.

Con el punto $P_r(5, 0, 6)$ y los vectores $\vec{u}(-2, 1, -3)$ y $\vec{v}(1, -2, 0)$, escribimos las ecuaciones paramétricas: $$\begin{cases} x = 5 - 2\lambda + \mu \\ y = \lambda - 2\mu \\ z = 6 - 3\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (ecuaciones paramétricas):** $$\boxed{\begin{cases} x = 5 - 2\lambda + \mu \\ y = \lambda - 2\mu \\ z = 6 - 3\lambda \end{cases}}$$