Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} m & -2 & 1 \\ 1 & -2m & 1 \\ 1 & -2 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2m & 1 & -2 \\ 1 & -2 & m & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando los rangos de ambas matrices según los valores del parámetro $m$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & -2 & 1 \\ 1 & -2m & 1 \\ 1 & -2 & m \end{vmatrix} = (m \cdot (-2m) \cdot m) + ((-2) \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot (-2)) - [1 \cdot (-2m) \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \cdot m + m \cdot 1 \cdot (-2)]$$ $$|A| = -2m^3 - 2 - 2 - (-2m - 2m - 2m) = -2m^3 - 4 + 6m$$ Para hallar los valores críticos, igualamos el determinante a cero: $$-2m^3 + 6m - 4 = 0 \implies m^3 - 3m + 2 = 0$$ Utilizando la regla de Ruffini para encontrar las raíces: - Para $m = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. - Factorizando el polinomio resultante $(m-1)(m^2+m-2)=0$, obtenemos las raíces: $$\boxed{m = 1 \quad \text{(doble)}, \quad m = -2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rango de $A$ es máximo y el sistema es Compatible Determinado.

Analizamos los tres casos posibles según los valores de $m$ hallados: **Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq -2$** En este caso $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una única solución. **Caso 2: $m = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 1 y 3 son iguales, y la fila 2 representa la ecuación $x - 2y + z = -2$, mientras que la fila 1 es $x - 2y + z = 1$. Esto es una contradicción. Matemáticamente: - $\text{rg}(A) = 1$ (todas las filas de $A$ son proporcionales). - Tomando un menor en $A^*$: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: $m = -2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -8 + 2 = -6 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Comprobamos el rango de $A^*$ estudiando el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (-8 + 4 - 2) - (4 - 8 - 2) = -6 - (-6) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 1, -2: \text{SCD} \\ m = 1: \text{SI} \\ m = -2: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) [0’75 puntos] Si es posible, resuelve el sistema para $m = -2$.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $m = -2$ el sistema es Compatible Indeterminado con $\text{rg}(A) = 2$. Usamos las dos primeras ecuaciones y pasamos una variable (por ejemplo $z$) al otro lado como parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} -2x - 2y = 1 - \lambda \\ x + 4y = -2 - \lambda \end{cases}, \quad \text{con } z = \lambda$$ Resolvemos por reducción multiplicando la segunda ecuación por 2: $$\begin{cases} -2x - 2y = 1 - \lambda \\ 2x + 8y = -4 - 2\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$6y = -3 - 3\lambda \implies y = \frac{-3(1+\lambda)}{6} = -\frac{1+\lambda}{2}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación original: $$x + 4\left(-\frac{1+\lambda}{2}\right) = -2 - \lambda \implies x - 2 - 2\lambda = -2 - \lambda \implies x = \lambda$$ La solución depende del parámetro real $\lambda$. ✅ **Resultado (Solución para $m = -2$):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(\lambda, -\frac{1+\lambda}{2}, \lambda\right), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$