Recta tangente e integral por partes

**a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = 0$, necesitamos conocer tanto la ordenada del punto como la pendiente de la función en dicho punto. Calculamos la ordenada evaluando la función en $x = 0$: $$f(0) = e^0 \cos(0) = 1 \cdot 1 = 1$$ El punto de tangencia es, por tanto, **$(0, 1)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ viene dada por la expresión $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

La pendiente de la recta tangente, $m$, coincide con el valor de la derivada en el punto, es decir, $m = f'(0)$. Calculamos primero la derivada de $f(x) = e^x \cos(x)$ usando la regla del producto: $$f'(x) = (e^x)' \cos(x) + e^x (\cos(x))'$$ $$f'(x) = e^x \cos(x) + e^x (-\sin(x)) = e^x (\cos(x) - \sin(x))$$ Ahora evaluamos en $x = 0$: $$m = f'(0) = e^0 (\cos(0) - \sin(0)) = 1 \cdot (1 - 0) = 1$$ La pendiente de la recta tangente es **$m = 1$**.

Sustituimos el punto $(0, 1)$ y la pendiente $m = 1$ en la fórmula de la recta punto-pendiente: $$y - 1 = 1(x - 0)$$ $$y - 1 = x$$ $$y = x + 1$$ ✅ **Resultado de la recta tangente:** $$\boxed{y = x + 1}$$

**b) [1’5 puntos] Calcula la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 0)$.** Primero debemos hallar la integral indefinida $I = \int e^x \cos(x) \, dx$. Se trata de una integral cíclica que resolveremos aplicando el método de **integración por partes** dos veces. 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. **Primera aplicación:** Elegimos: $u = \cos(x) \implies du = -\sin(x) \, dx$ $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ Aplicamos la fórmula: $$I = e^x \cos(x) - \int e^x (-\sin(x)) \, dx$$ $$I = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) \, dx$$

Aplicamos de nuevo el método a la integral resultante $\int e^x \sin(x) \, dx$: Elegimos: $u = \sin(x) \implies du = \cos(x) \, dx$ $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ Sustituimos en la expresión de $I$: $$I = e^x \cos(x) + \left[ e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx \right]$$ Observamos que ha vuelto a aparecer la integral original $I$: $$I = e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - I$$

Despejamos la integral $I$ sumándola a ambos lados: $$2I = e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$$ $$I = \frac{e^x (\cos(x) + \sin(x))}{2} + C$$ Por tanto, la familia de primitivas de $f$ es: $$F(x) = \frac{e^x (\cos(x) + \sin(x))}{2} + C$$

Para hallar la primitiva específica que pasa por $(0, 0)$, imponemos la condición $F(0) = 0$: $$F(0) = \frac{e^0 (\cos(0) + \sin(0))}{2} + C = 0$$ $$\frac{1 \cdot (1 + 0)}{2} + C = 0$$ $$\frac{1}{2} + C = 0 \implies C = -\frac{1}{2}$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = \frac{e^x (\cos(x) + \sin(x))}{2} - \frac{1}{2}$$ $$F(x) = \frac{e^x (\cos(x) + \sin(x)) - 1}{2}$$ ✅ **Resultado final (primitiva):** $$\boxed{F(x) = \dfrac{e^x (\cos x + \sin x) - 1}{2}}$$