Derivabilidad de una función a trozos y extremos absolutos

**a) [1’25 puntos] Calcula $a$ y $b$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. El único punto donde la función podría presentar problemas es el punto de salto entre ramas, $x = 1$. Estudiamos la continuidad en $x = 1$ analizando los límites laterales y el valor de la función: 1. Valor de la función: $f(1) = a - 1$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (a - x) = a - 1$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{b}{x} + \ln x \right) = \frac{b}{1} + \ln 1 = b + 0 = b$. Para que sea continua en $x=1$, los límites deben ser iguales: $$a - 1 = b \implies a - b = 1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad.

Una vez asegurada la continuidad, para que $f(x)$ sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales deben coincidir. Calculamos primero la función derivada para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x < 1 \\ -\frac{b}{x^2} + \frac{1}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = 1$: 1. Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = -1$. 2. Derivada por la derecha: $f'(1^+) = -\frac{b}{1^2} + \frac{1}{1} = -b + 1$. Igualamos ambas para que exista $f'(1)$: $$-1 = -b + 1 \implies b = 2.$$ 💡 **Tip:** Al derivar $\frac{b}{x}$ obtenemos $-b/x^2$ y la derivada de $\ln x$ es $1/x$.

Sustituimos el valor de $b = 2$ en la **Ecuación 1** obtenida en el paso de continuidad: $$a - 2 = 1 \implies a = 3.$$ Por tanto, los valores buscados son: ✅ **Resultado (a y b):** $$\boxed{a = 3, \quad b = 2}$$

**b) [1’25 puntos] Para $a = 3$ y $b = 2$ calcula los extremos absolutos de $f$ en el intervalo $[0, e]$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para $a=3$ y $b=2$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} 3 - x & \text{si } x \le 1 \\ \frac{2}{x} + \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Según el **Teorema de Weierstrass**, una función continua en un intervalo cerrado alcanza sus extremos absolutos. Estos pueden estar en: 1. Los extremos del intervalo: $x = 0$ y $x = e$. 2. Los puntos donde la derivada es cero ($f'(x) = 0$). 3. Los puntos donde la función cambia de rama (en este caso $x=1$, aunque ya sabemos que es derivable). Analizamos $f'(x) = 0$: - En el primer tramo ($x < 1$): $f'(x) = -1 \neq 0$. No hay puntos críticos aquí. - En el segundo tramo ($x > 1$): $f'(x) = \frac{-2}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{-2 + x}{x^2}$. $$\frac{-2 + x}{x^2} = 0 \implies -2 + x = 0 \implies x = 2.$$ Como $x=2$ pertenece al intervalo $(1, e]$ (ya que $e \approx 2.718$), es un candidato. 💡 **Tip:** Los extremos absolutos son el valor más alto y más bajo de la función en todo el intervalo dado.

Evaluamos la función $f(x)$ en todos los candidatos hallados: 1. En $x = 0$ (extremo izquierdo): $f(0) = 3 - 0 = 3$. 2. En $x = 1$ (punto de unión): $f(1) = 3 - 1 = 2$. 3. En $x = 2$ (punto crítico): $f(2) = \frac{2}{2} + \ln 2 = 1 + \ln 2 \approx 1.693$. 4. En $x = e$ (extremo derecho): $f(e) = \frac{2}{e} + \ln e = \frac{2}{e} + 1 \approx 0.735 + 1 = 1.735$. Comparando los valores: - El valor máximo es $3$, que se alcanza en $x = 0$. - El valor mínimo es $1 + \ln 2$, que se alcanza en $x = 2$ (ya que $1.693 < 1.735 < 2 < 3$). ✅ **Resultado (extremos absolutos):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Máximo absoluto en } x = 0 \text{ con valor } f(0) = 3 \\ &\text{Mínimo absoluto en } x = 2 \text{ con valor } f(2) = 1 + \ln 2 \end{aligned}}$$