Perpendicular común y distancia entre dos rectas

**a) [1’75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$.** Primero, identificamos un punto y un vector director para cada recta. Para la recta $r$ (dada en paramétricas): - Punto $P_r = (1, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ Para la recta $s$ (dada en forma continua): - Punto $P_s = (1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-2, 1, -2)$ 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$.

Para comprobar que las rectas se cruzan, analizamos la independencia lineal de los vectores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$. Calculamos $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-1, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$. Calculamos el determinante formado por los tres vectores: $$\text{Det} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\text{Det} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot (-2) \cdot 0) + (1 \cdot (-2) \cdot (-1)) - (0 \cdot 1 \cdot 1) - ((-1) \cdot (-2) \cdot 1) - (1 \cdot (-2) \cdot 1)$$ $$\text{Det} = 1 + 0 + 2 - 0 - 2 + 2 = 3$$ Como el determinante es distinto de cero y los vectores directores no son proporcionales, las rectas **se cruzan** en el espacio.

La recta que corta perpendicularmente a $r$ y $s$ (perpendicular común) tendrá un vector director $\vec{v}_t$ que es perpendicular a $\vec{v}_r$ y a $\vec{v}_s$ simultáneamente. Este vector se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_t = \vec{i}(-2) + \vec{j}(-2) + \vec{k}(1) - \vec{k}(-2) - \vec{i}(1) - \vec{j}(-2)$$ $$\vec{v}_t = -2\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} + 2\vec{k} - \vec{i} + 2\vec{j} = -3\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k}$$ $$\vec{v}_t = (-3, 0, 3)$$ Podemos simplificar el vector director usando $\vec{v}_t = (-1, 0, 1)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial siempre genera un vector perpendicular a los dos vectores originales.

La recta buscada $t$ se puede definir como la intersección de dos planos: 1. El plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y al vector $\vec{v}_t$. 2. El plano $\pi_2$ que contiene a $s$ y al vector $\vec{v}_t$. **Plano $\pi_1$:** $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies (x-1)(1) - (y-1)(1 - (-1)) + z(0 - (-1)) = 0$$ $$x - 1 - 2(y - 1) + z = 0 \implies x - 2y + z + 1 = 0$$ **Plano $\pi_2$:** $$\begin{vmatrix} x - 1 & y & z - 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies (x-1)(1) - y(-2 - 2) + (z-1)(0 - (-1)) = 0$$ $$x - 1 + 0y + z - 1 = 0 \implies x + z - 2 = 0$$ La ecuación de la recta $t$ en su forma implícita es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{t: \begin{cases} x - 2y + z + 1 = 0 \\ x + z - 2 = 0 \end{cases}}$$

**b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.** La distancia entre dos rectas que se cruzan viene dada por el volumen del paralelepípedo definido por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$ dividido por el área de su base: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya sabemos por el paso 2 que el producto mixto es: $$|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]| = |3| = 3$$ Calculamos el módulo del producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (-3, 0, 3)$: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ Calculamos la distancia: $$d(r, s) = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \text{ u}}$$