Propiedades de los determinantes

**a) [1 punto] $\det(A^3)$, $\det(A^{-1})$, $\det(A + A^t)$ ($A^t$ indica la traspuesta de $A$).** En primer lugar, calculamos $\det(A^3)$ utilizando la propiedad de que el determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes: $$\det(A^3) = (\det A)^3$$ Como el enunciado nos indica que $\det A = 3$: $$\det(A^3) = 3^3 = 27$$ Para el determinante de la matriz inversa $\det(A^{-1})$, utilizamos la propiedad $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$: $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier matriz cuadrada $A$, se cumple que $\det(A^n) = (\det A)^n$ y que $\det(A^{-1}) = [\det(A)]^{-1}$. ✅ **Resultados parciales:** $$\boxed{\det(A^3) = 27} \quad \text{y} \quad \boxed{\det(A^{-1}) = \frac{1}{3}}$$

Para hallar $\det(A + A^t)$, observamos la forma de la matriz $A$ dada: $$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix}$$ Observamos que los elementos cumplen $a_{12} = a_{21} = b$, $a_{13} = a_{31} = c$ y $a_{23} = a_{32} = e$. Por lo tanto, la matriz $A$ es simétrica, lo que implica que **$A = A^t$**. Sustituyendo en la expresión: $$\det(A + A^t) = \det(A + A) = \det(2A)$$ Utilizamos la propiedad del determinante de una matriz multiplicada por un número real $k$ para una matriz de orden $n$: $\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det A$. En este caso, $n=3$ y $k=2$: $$\det(2A) = 2^3 \cdot \det A = 8 \cdot 3 = 24$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\det(A + A^t) = 24}$$

**b) [0’75 puntos] $\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & e & f \\ 2b & 2d & 2e \end{pmatrix}$.** Partimos del determinante original $\det A = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{vmatrix} = 3$ y aplicamos propiedades para llegar a la matriz pedida: 1. Intercambiamos la fila 2 ($F_2$) y la fila 3 ($F_3$). Al permutar dos filas, el determinante cambia de signo: $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{vmatrix} = 3 \implies \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & e & f \\ b & d & e \end{vmatrix} = -3$$ 2. Multiplicamos la nueva fila 3 ($F_3$) por $2$. Si multiplicamos una fila por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número: $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & e & f \\ 2b & 2d & 2e \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) = -6$$ 💡 **Tip:** Las operaciones elementales por filas afectan al determinante de forma predecible: el intercambio cambia el signo y la multiplicación por un escalar escala el valor del determinante. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & e & f \\ 2b & 2d & 2e \end{pmatrix} = -6}$$

**c) [0’75 puntos] $\det \begin{pmatrix} a & b & 4a - c \\ b & d & 4b - e \\ c & e & 4c - f \end{pmatrix}$.** Sea $C_1, C_2, C_3$ las columnas de la matriz $A$. El determinante pedido tiene la forma: $$\det(C_1, C_2, 4C_1 - C_3)$$ 1. Aplicamos la propiedad de linealidad por columnas (el determinante de una suma es la suma de los determinantes): $$\det(C_1, C_2, 4C_1 - C_3) = \det(C_1, C_2, 4C_1) + \det(C_1, C_2, -C_3)$$ 2. En el primer sumando, extraemos el factor $4$ y observamos que hay dos columnas iguales ($C_1$). Por tanto, el determinante es cero: $$\det(C_1, C_2, 4C_1) = 4 \cdot \det(C_1, C_2, C_1) = 4 \cdot 0 = 0$$ 3. En el segundo sumando, extraemos el factor $-1$ de la tercera columna: $$\det(C_1, C_2, -C_3) = -1 \cdot \det(C_1, C_2, C_3) = -1 \cdot \det A = -1 \cdot 3 = -3$$ Sumando ambos resultados: $0 + (-3) = -3$. 💡 **Tip:** Recuerda que si a una línea se le suma una combinación lineal de las demás, el determinante no varía. Aquí se ha restado $C_3$ a $4C_1$, o de forma más directa: $\det(C_1, C_2, 4C_1 - C_3) = \det(C_1, C_2, -C_3)$ porque sumamos a la tercera columna $-4C_1$. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{\det \begin{pmatrix} a & b & 4a - c \\ b & d & 4b - e \\ c & e & 4c - f \end{pmatrix} = -3}$$