Cálculo de una integral indefinida mediante cambio de variable

**Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula $\int \frac{dx}{2x(x + \sqrt{x})}$. (Sugerencia: cambio de variable $t = \sqrt{x}$).** Siguiendo la sugerencia del enunciado, realizamos el cambio de variable $t = \sqrt{x}$. Para ello, despejamos $x$ y calculamos el diferencial $dx$: 1. Elevamos al cuadrado: $t^2 = x$. 2. Derivamos ambos lados: $2t \, dt = dx$. Sustituimos estos valores en la integral original: $$I = \int \frac{2t \, dt}{2t^2(t^2 + t)}$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable $x = g(t)$, no olvides sustituir siempre el diferencial $dx = g'(t) \, dt$ para que toda la integral quede en términos de la nueva variable.

Antes de integrar, simplificamos la fracción algebraica obtenida: $$I = \int \frac{2t}{2t^2(t^2 + t)} \, dt$$ Cancelamos el factor $2$ en el numerador y el denominador, y simplificamos una $t$: $$I = \int \frac{t}{t^2(t^2 + t)} \, dt = \int \frac{1}{t(t^2 + t)} \, dt$$ Factorizamos el denominador sacando factor común $t$: $$I = \int \frac{1}{t \cdot t(t + 1)} \, dt = \int \frac{1}{t^2(t + 1)} \, dt$$ Ahora tenemos una integral de una función racional donde el denominador tiene una raíz real múltiple ($t=0$ con multiplicidad 2) y una raíz real simple ($t=-1$).

Para resolver la integral de la función racional $\frac{1}{t^2(t + 1)}$, aplicamos el método de descomposición en fracciones simples: $$\frac{1}{t^2(t + 1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{C}{t + 1}$$ Multiplicamos toda la ecuación por el denominador común $t^2(t + 1)$: $$1 = At(t + 1) + B(t + 1) + Ct^2$$ Calculamos los coeficientes dando valores estratégicos a $t$: - Si **$t = 0$**: $1 = B(0 + 1) \implies \mathbf{B = 1}$. - Si **$t = -1$**: $1 = C(-1)^2 \implies \mathbf{C = 1}$. - Si **$t = 1$** (usando los valores anteriores): $1 = A(1)(2) + 1(2) + 1(1)^2 \implies 1 = 2A + 2 + 1 \implies 2A = -2 \implies \mathbf{A = -1}$. Por tanto, la fracción se descompone como: $$\frac{1}{t^2(t + 1)} = -\frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} + \frac{1}{t + 1}$$ 💡 **Tip:** Cuando tengas factores repetidos en el denominador como $t^n$, debes incluir todas las potencias desde 1 hasta $n$ en la descomposición: $\frac{A_1}{t} + \frac{A_2}{t^2} + \dots + \frac{A_n}{t^n}$.

Sustituimos la descomposición en la integral y aplicamos la linealidad para resolver cada término por separado: $$I = \int \left( -\frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} + \frac{1}{t + 1} \right) dt$$ Resolvemos: 1. $\int -\frac{1}{t} \, dt = -\ln|t|$ 2. $\int t^{-2} \, dt = \frac{t^{-1}}{-1} = -\frac{1}{t}$ 3. $\int \frac{1}{t + 1} \, dt = \ln|t + 1|$ Agrupando los términos: $$I = \ln|t + 1| - \ln|t| - \frac{1}{t} + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln(a/b)$): $$I = \ln\left| \frac{t + 1}{t} \right| - \frac{1}{t} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ y que para potencias $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ siempre que $n \neq -1$.

Finalmente, volvemos a la variable original sustituyendo $t = \sqrt{x}$: $$I = \ln\left| \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \right| - \frac{1}{\sqrt{x}} + C$$ Dado que $\sqrt{x}$ y $\sqrt{x}+1$ son siempre valores positivos para $x > 0$ (dominio de la función original), podemos omitir los valores absolutos si se desea, aunque mantenerlos es matemáticamente correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I = \ln\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \right) - \frac{1}{\sqrt{x}} + C}$$