Optimización de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Para resolver este problema de optimización, empezamos identificando las variables y la magnitud que queremos minimizar. Sean $x$ e $y$ las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo (medidas en cm). Por definición, ambos deben ser positivos: $x \gt 0, y \gt 0$. La magnitud que queremos minimizar es la longitud de la **hipotenusa ($h$)**. Por el teorema de Pitágoras: $$h = \sqrt{x^2 + y^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización de distancias o longitudes con raíces cuadradas, suele ser más sencillo minimizar el cuadrado de la función, en este caso $h^2 = x^2 + y^2$, ya que el valor de $x$ que minimiza $h^2$ también minimiza $h$ (siempre que $h \gt 0$).

El enunciado nos da un dato fijo: el área del triángulo es $8 \text{ cm}^2$. La fórmula del área de un triángulo rectángulo es: $$A = \frac{x \cdot y}{2} = 8$$ De aquí podemos despejar una variable en función de la otra para tener la función objetivo con una sola incógnita: $$x \cdot y = 16 \implies y = \frac{16}{x}$$ Como $y \gt 0$, el dominio de nuestra función será $x \in (0, +\infty)$.

Sustituimos $y = \frac{16}{x}$ en la expresión del cuadrado de la hipotenusa para obtener la función $f(x)$: $$f(x) = x^2 + \left(\frac{16}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$$ Queremos encontrar el valor de $x$ que hace que $f(x)$ sea mínima. $$\boxed{f(x) = x^2 + 256x^{-2}}$$

Calculamos la primera derivada de $f(x)$ e igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$f'(x) = 2x + 256 \cdot (-2)x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$$ Igualamos a cero: $$2x - \frac{512}{x^3} = 0 \implies 2x = \frac{512}{x^3}$$ $$2x^4 = 512 \implies x^4 = 256$$ $$x = \sqrt[4]{256} = 4$$ (Descartamos la solución negativa $x = -4$ porque una longitud debe ser positiva). 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $\frac{1}{x^n}$ es más fácil escribirlo como $x^{-n}$.

Para confirmar que en $x = 4$ hay un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada o usamos la segunda derivada. **Método de la segunda derivada:** $$f''(x) = 2 - 512 \cdot (-3)x^{-4} = 2 + \frac{1536}{x^4}$$ Evaluamos en $x = 4$: $$f''(4) = 2 + \frac{1536}{4^4} = 2 + \frac{1536}{256} = 2 + 6 = 8 \gt 0$$ Como $f''(4) \gt 0$, existe un **mínimo relativo** en $x = 4$. También podemos ver el cambio de signo de $f'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,4) & 4 & (4,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & +\\\hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ En $x=4$ la función pasa de decrecer a crecer, confirmando el mínimo.

Una vez hallado $x = 4$, calculamos el valor de $y$ utilizando la relación del área: $$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4 \text{ cm}$$ Por tanto, el triángulo de hipotenusa mínima es un triángulo rectángulo e isósceles con catetos de $4 \text{ cm}$. Podemos calcular la hipotenusa mínima (aunque no lo pide explícitamente el enunciado, es buena práctica): $$h = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ cm}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Los catetos miden } 4 \text{ cm cada uno}}$$