Geometría en el espacio: Distancias y rectas perpendiculares

**a) [1’25 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta $r$.** Primero, determinamos un punto $A$ de la recta y su vector director $\vec{v}_r$ a partir de los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, -1, 3)$. El vector director $\vec{v}_r$ es el vector $\vec{AB}$: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (2 - 1, -1 - 0, 3 - (-1)) = (1, -1, 4).$$ Tomamos como punto de la recta $A(1, 0, -1)$. El origen de coordenadas es $O(0, 0, 0)$. Necesitamos también el vector que une el origen con el punto $A$: $$\vec{OA} = A - O = (1, 0, -1).$$ 💡 **Tip:** Para trabajar en geometría 3D, siempre es fundamental obtener primero el punto y el vector director de las rectas involucradas.

La distancia de un punto $O$ a una recta $r$ viene dada por la fórmula: $$d(O, r) = \frac{|\vec{OA} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{v}_r$ mediante un determinante: $$\vec{OA} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{OA} \times \vec{v}_r = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(4 - (-1)) + \mathbf{k}(-1 - 0)$$ $$\vec{OA} \times \vec{v}_r = -1\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (-1, -5, -1).$$ Calculamos los módulos necesarios: $$|\vec{OA} \times \vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.$$ $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(O, r) = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,22 \text{ u}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(O, r) = \frac{\sqrt{6}}{2} \text{ unidades}}$$

**b) [1’25 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y pasa por el origen de coordenadas.** La recta $s$ que buscamos debe pasar por $O(0,0,0)$ y por un punto $P$ de la recta $r$ tal que el vector $\vec{OP}$ sea perpendicular al vector director de $r$ ($\vec{v}_r$). Para hallar este punto $P$, utilizaremos un plano auxiliar $\pi$ que sea perpendicular a $r$ y pase por el origen $O$. El punto $P$ será la intersección de dicho plano con la recta $r$. El vector normal del plano será el vector director de la recta: $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, -1, 4)$. Como pasa por $O(0, 0, 0)$, la ecuación del plano es: $$1(x - 0) - 1(y - 0) + 4(z - 0) = 0 \implies x - y + 4z = 0.$$ 💡 **Tip:** La recta que corta perpendicularmente a otra desde un punto exterior es la que une dicho punto con su proyección ortogonal sobre la recta.

Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas para hallar el punto de intersección $P$: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = -1 + 4\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $x - y + 4z = 0$: $$(1 + \lambda) - (-\lambda) + 4(-1 + 4\lambda) = 0$$ $$1 + \lambda + \lambda - 4 + 16\lambda = 0$$ $$18\lambda - 3 = 0 \implies 18\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}.$$ Sustituimos $\lambda = 1/6$ en las paramétricas de $r$ para obtener el punto $P$: $$x_P = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$$ $$y_P = -\frac{1}{6}$$ $$z_P = -1 + 4\left(\frac{1}{6}\right) = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}.$$ El punto de corte es **$P\left(\frac{7}{6}, -\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}\right)$**.

La recta $s$ pasa por $O(0, 0, 0)$ y por $P\left(\frac{7}{6}, -\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}\right)$. Su vector director $\vec{v}_s$ será $\vec{OP}$: $$\vec{v}_s = \left(\frac{7}{6}, -\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}\right).$$ Para simplificar la ecuación, podemos multiplicar el vector por 6 para trabajar con números enteros: $$\vec{v}_s' = (7, -1, -2).$$ La ecuación continua de la recta $s$ es: $$\frac{x - 0}{7} = rac{y - 0}{-1} = rac{z - 0}{-2} \implies \frac{x}{7} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s: \frac{x}{7} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-2}}$$