Propiedades de los determinantes

**a) [0’5 puntos] $\det(3A)$** Para resolver este apartado aplicamos la propiedad que relaciona el determinante de una matriz multiplicada por un número real $k$ con el determinante de la matriz original: $$\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)$$ donde $n$ es el orden de la matriz cuadrada. En este caso, $A$ es una matriz de orden **$n=3$** y el escalar es **$k=3$**. Sustituimos los valores conocidos: $$\det(3A) = 3^3 \cdot \det(A)$$ $$\det(3A) = 27 \cdot 2 = 54$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al multiplicar una matriz por un número, todos sus elementos se multiplican por dicho número. Al calcular el determinante, ese factor sale de cada una de las $n$ filas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(3A) = 54}$$

**b) [0’5 puntos] $\det(A^{-1})$** Utilizamos la propiedad del determinante de la matriz inversa, que nos dice que es igual al inverso del determinante de la matriz original: $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$ Como sabemos que $\det(A) = 2$, simplemente sustituimos: $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad deriva de que $\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I) = 1$ y de que el determinante del producto es el producto de los determinantes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(A^{-1}) = \frac{1}{2}}$$

**c) [0’75 puntos] $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3x & 2y & z \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix}$** Vamos a transformar el determinante dado para que se parezca al de la matriz $A$ original, aplicando propiedades paso a paso: 1. **Extraemos factores comunes de las columnas:** - En la primera columna ($C_1$), el factor **3** es común. - En la segunda columna ($C_2$), el factor **2** es común. $$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3x & 2y & z \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & y & z \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & y & z \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ 2. **Intercambiamos filas para obtener la matriz $A$:** Para llegar a $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$, debemos intercambiar la primera fila ($F_1$) con la segunda ($F_2$). Al intercambiar dos filas, el determinante **cambia de signo**. $$6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & y & z \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_1 \leftrightarrow F_2} -6 \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Como el determinante resultante es $\det(A) = 2$: $$-6 \cdot \det(A) = -6 \cdot 2 = -12$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{-12}$$

**d) [0’75 puntos] $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x + 2 & y + 4 & z + 6 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$** 1. **Descomponemos el determinante por la segunda fila:** Si una fila es suma de dos sumandos, el determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes. $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x + 2 & y + 4 & z + 6 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ 2. **Analizamos el segundo determinante:** Observamos que en el segundo determinante, la fila 2 ($F_2$) es proporcional a la fila 1 ($F_1$): $F_2 = 2 \cdot F_1$. Si un determinante tiene dos filas proporcionales, su valor es **0**. $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} + 0$$ 3. **Transformamos el primer determinante hacia $\det(A)$:** - Extraemos factor **-1** de la tercera fila ($F_3$): $$(-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ - Intercambiamos $F_1 \leftrightarrow F_2$ (cambio de signo): $$(-1) \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ - Intercambiamos $F_2 \leftrightarrow F_3$ (cambio de signo): $$(-1) \cdot \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot \det(A)$$ Calculamos el valor final: $$-1 \cdot 2 = -2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{-2}$$