Integral definida por partes

**Calcula $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$.** Siguiendo la sugerencia del enunciado, utilizaremos el método de **integración por partes** para hallar la primitiva de la función. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$ Elegimos los términos $u$ y $dv$ siguiendo la regla mnemotécnica ALPES (donde las funciones algebraicas van antes que las trigonométricas): - Sea $u = x \implies du = dx$ - Sea $dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx \implies v = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\tan x$ es $\frac{1}{\cos^2 x}$ (o también $1 + \tan^2 x$), por lo que su integral es inmediata.

Aplicamos la fórmula de integración por partes a la integral indefinida: $$\int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \cdot \tan x - \int \tan x \, dx$$ Para resolver la integral de la tangente, la expresamos como el cociente entre el seno y el coseno: $$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$$ Esta integral es de tipo logarítmica, ya que el numerador es (casi) la derivada del denominador: $$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = - \int \frac{-\sin x}{\cos x} dx = -\ln|\cos x|$$ Sustituyendo esto en nuestra expresión original, obtenemos la función primitiva $F(x)$: $$F(x) = x \tan x - (-\ln|\cos x|) = x \tan x + \ln|\cos x|$$ 💡 **Tip:** La integral de la forma $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)|$. En este caso, como la derivada de $\cos x$ es $-\sin x$, ajustamos el signo fuera de la integral.

Para calcular la integral definida entre $0$ y $\frac{\pi}{4}$, aplicamos la **Regla de Barrow** utilizando la primitiva hallada: $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = \left[ x \tan x + \ln|\cos x| \right]_0^{\frac{\pi}{4}}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = \frac{\pi}{4}$): $$F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \ln\left|\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| = \frac{\pi}{4} \cdot 1 + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = 0 \cdot \tan(0) + \ln|\cos(0)| = 0 + \ln(1) = 0$$ Restamos ambos valores: $$I = \left( \frac{\pi}{4} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) - 0 = \frac{\pi}{4} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ Podemos simplificar el logaritmo si lo deseamos: $$\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \ln\left(2^{-1/2}\right) = -\frac{1}{2} \ln 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2}$$