Optimización: Suma mínima de un número y su inverso

Para resolver este problema de optimización, lo primero es definir la función que queremos minimizar. Llamamos $x$ al número real positivo buscado. Por el enunciado, sabemos que $x \gt 0$, por lo que el dominio de nuestra función será $D = (0, +\infty)$. El inverso de dicho número es $\dfrac{1}{x}$. La función suma $S(x)$ viene dada por: $$S(x) = x + \frac{1}{x}$$ Queremos encontrar el valor de $x$ que hace que $S(x)$ sea **mínima**. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, es fundamental definir claramente la variable y el intervalo de trabajo (dominio) antes de derivar.

Para hallar los extremos relativos, derivamos la función $S(x)$ respecto a $x$: $$S'(x) = \frac{d}{dx}\left( x + x^{-1} \right) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$$ Operando para obtener una única fracción: $$S'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\dfrac{1}{x}$ es $-\dfrac{1}{x^2}$.

Los puntos críticos se encuentran donde la derivada es igual a cero: $$S'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: $$x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1} \implies x = 1, \quad x = -1$$ Como el enunciado especifica que el número debe ser **real positivo**, descartamos $x = -1$. Por tanto, el único punto crítico en nuestro dominio es: $$\mathbf{x = 1}$$

Para confirmar que en $x = 1$ hay un mínimo absoluto en el intervalo $(0, +\infty)$, analizamos el signo de la derivada $S'(x)$ a ambos lados del punto crítico. Notamos que el denominador de $S'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ siempre es positivo para $x \neq 0$, por lo que el signo de la derivada depende solo del numerador $x^2 - 1$. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline x^2-1 & - & 0 & +\\ x^2 & + & + & +\\\hline S'(x) & - & 0 & +\\ S(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array} $$ **Justificación:** - En el intervalo $(0,1)$, $S'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En el intervalo $(1, +\infty)$, $S'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. Al pasar de decreciente a creciente en $x=1$, confirmamos que se trata de un **mínimo relativo**. Al ser el único extremo en el dominio, es el **mínimo absoluto**. 💡 **Tip:** También podrías usar el criterio de la segunda derivada: $S''(x) = \dfrac{2}{x^3}$. Como $S''(1) = 2 \gt 0$, existe un mínimo en $x=1$.

El número real positivo que sumado con su inverso da una suma mínima es el $1$. La suma mínima en este caso sería: $$S(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1}$$