Geometría en el espacio: planos, rectas y distancias

**a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a la recta que pasa por $A$ y por $B$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). 1. Como el plano $\pi$ contiene a la recta $r$, el punto $P_r$ de la recta y su vector director $\vec{v}_r$ pertenecerán al plano. De la ecuación paramétrica de $r$: - Punto $P_r = (1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, 1, 0)$ 2. Como el plano es paralelo a la recta que pasa por $A(1, 1, 2)$ y $B(1, -1, -2)$, el vector $\vec{v}_{AB}$ será el otro vector director del plano: $$\vec{v}_{AB} = B - A = (1 - 1, -1 - 1, -2 - 2) = (0, -2, -4)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $\vec{u} = (0, 1, 2)$. 💡 **Tip:** Si un plano es paralelo a una recta, el vector director de la recta puede usarse como vector director del plano.

El vector normal $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores del plano, $\vec{v}_r$ y $\vec{u}$: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o desarrollo por una fila: $$\vec{n}_\pi = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1)\vec{i} - (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0)\vec{j} + (2 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = 2\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k} = (2, -4, 2)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 2: $\vec{n}_\pi = (1, -2, 1)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para hallar la normal de un plano.

La ecuación general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las coordenadas del vector normal $(1, -2, 1)$: $$1x - 2y + 1z + D = 0 \implies x - 2y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto $P_r(1, 0, 1)$ que pertenece al plano: $$1 - 2(0) + 1 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ Por tanto, la ecuación general del plano es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 2y + z - 2 = 0}$$

**b) [1’5 puntos] Halla el punto de la recta $r$ que está a la misma distancia de $A$ y de $B$.** Cualquier punto $X$ de la recta $r$ tiene la forma: $$X(1 + 2t, t, 1)$$ Queremos encontrar el valor de $t$ tal que la distancia de $X$ a $A$ sea igual a la distancia de $X$ a $B$: $$d(X, A) = d(X, B)$$ Para facilitar el cálculo, igualamos los cuadrados de las distancias: $$d(X, A)^2 = d(X, B)^2$$ Recordamos que $A(1, 1, 2)$ y $B(1, -1, -2)$. 💡 **Tip:** Trabajar con el cuadrado de la distancia evita el uso de raíces cuadradas.

Calculamos las distancias al cuadrado: $d(X, A)^2 = (1 + 2t - 1)^2 + (t - 1)^2 + (1 - 2)^2$ $d(X, A)^2 = (2t)^2 + (t - 1)^2 + (-1)^2 = 4t^2 + t^2 - 2t + 1 + 1 = 5t^2 - 2t + 2$ $d(X, B)^2 = (1 + 2t - 1)^2 + (t - (-1))^2 + (1 - (-2))^2$ $d(X, B)^2 = (2t)^2 + (t + 1)^2 + (3)^2 = 4t^2 + t^2 + 2t + 1 + 9 = 5t^2 + 2t + 10$ Igualamos ambas expresiones: $$5t^2 - 2t + 2 = 5t^2 + 2t + 10$$ Simplificamos eliminando $5t^2$ en ambos lados: $$-2t + 2 = 2t + 10$$ $$-4t = 8 \implies t = -2$$

Sustituimos $t = -2$ en las coordenadas del punto genérico $X(1 + 2t, t, 1)$: $$x = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3$$ $$y = -2$$ $$z = 1$$ El punto de la recta $r$ equidistante de $A$ y $B$ es $X(-3, -2, 1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X(-3, -2, 1)}$$