Sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) [0’75 puntos] Halla los valores del parámetro $m$ para los que el sistema tiene una única solución.** Se trata de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo (los términos independientes son todos cero). Este tipo de sistemas siempre son compatibles, pues admiten al menos la solución trivial $(0, 0, 0)$. Escribimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2m \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2m \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 \cdot 2m) + ((-1) \cdot 1 \cdot (-1)) + (m \cdot m \cdot 1) - [((-1) \cdot 2 \cdot m) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (2m \cdot m \cdot (-1))]$$ $$|A| = (4m) + (1) + (m^2) - [-2m + 1 - 2m^2]$$ $$|A| = m^2 + 4m + 1 + 2m^2 + 2m - 1 = 3m^2 + 6m$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo tiene solución única (la nula) si y solo si el rango de la matriz es igual al número de incógnitas, lo que ocurre cuando su determinante es distinto de cero.

Para que el sistema tenga una única solución (sistema compatible determinado), el rango de $A$ debe ser $3$. Esto ocurre cuando $|A| \neq 0$. Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$3m^2 + 6m = 0 \implies 3m(m + 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $3m = 0 \implies m = 0$ 2. $m + 2 = 0 \implies m = -2$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, si $m \neq 0$ y $m \neq -2$, entonces $\text{rg}(A) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. Al ser un sistema homogéneo, la única solución será la solución trivial. ✅ **Resultado (m para solución única):** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{0, -2\}}$$

**b) [1 punto] Halla los valores del parámetro $m$ para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.** Un sistema homogéneo tiene soluciones distintas de la nula (es decir, es un Sistema Compatible Indeterminado) cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas ($n=3$). Esto sucede cuando el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero: $$|A| = 0 \iff 3m^2 + 6m = 0$$ Como hemos calculado en el apartado anterior, los valores que anulan el determinante son: $$m = 0 \quad \text{y} \quad m = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en sistemas homogéneos, si el determinante es cero, hay infinitas soluciones (incluida la nula y otras distintas). ✅ **Resultado (m para soluciones no nulas):** $$\boxed{m = 0, \quad m = -2}$$

**c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para $m = -2$.** Sustituimos $m = -2$ en el sistema original: $$\begin{cases} x - y - 2z = 0 \\ -2x + 2y + z = 0 \\ -x + y - 4z = 0 \end{cases}$$ Sabemos que $|A|=0$, por lo que el rango es menor que 3. Analizamos el rango buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 - (-4) = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Podemos prescindir de una ecuación (la tercera, por ejemplo, ya que es combinación lineal de las otras) y resolver el sistema con las dos primeras tratando una incógnita como parámetro. Usamos las ecuaciones 1 y 2: $$\begin{cases} x - y = 2z \\ -2x + 2y = -z \end{cases}$$ Si sumamos la primera ecuación multiplicada por 2 a la segunda: $$2(x - y) + (-2x + 2y) = 2(2z) + (-z) \implies 0 = 3z \implies z = 0$$ Sustituimos $z = 0$ en la primera ecuación: $$x - y - 2(0) = 0 \implies x = y$$ Llamamos $y = \lambda$: ✅ **Resultado (solución para m = -2):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$