Integral definida de una función racional

Estamos ante la integral de una función racional. Lo primero que observamos es que el grado del numerador es igual al grado del denominador, por lo que debemos realizar la división de polinomios o simplificar la expresión. Podemos extraer el factor $1/2$ para trabajar con coeficientes más sencillos: $$\int_0^1 \frac{x^2}{2x^2 - 2x - 4} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{x^2 - x - 2} dx$$ Realizamos la división de $x^2$ entre $x^2 - x - 2$: $$x^2 = 1 \cdot (x^2 - x - 2) + (x + 2)$$ De modo que la fracción se puede escribir como: $$\frac{x^2}{x^2 - x - 2} = 1 + \frac{x + 2}{x^2 - x - 2}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, utiliza el algoritmo de la división: $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

Ahora debemos descomponer la fracción $\frac{x + 2}{x^2 - x - 2}$ en fracciones simples. Primero factorizamos el denominador resolviendo $x^2 - x - 2 = 0$: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 2, x_2 = -1$$ Así, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. Planteamos la descomposición: $$\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$$ Multiplicando por el denominador común: $$x + 2 = A(x + 1) + B(x - 2)$$ Calculamos $A$ y $B$ dando valores a $x$: - Si $x = 2: \quad 4 = 3A \implies A = \frac{4}{3}$ - Si $x = -1: \quad 1 = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$ Por tanto: $$\frac{x + 2}{x^2 - x - 2} = \frac{4/3}{x - 2} - \frac{1/3}{x + 1}$$ 💡 **Tip:** Para encontrar $A$ y $B$ rápidamente, sustituye $x$ por las raíces del denominador.

Sustituimos la descomposición en nuestra integral original (recordando el factor $1/2$ fuera): $$\int \frac{x^2}{2x^2 - 2x - 4} dx = \frac{1}{2} \int \left( 1 + \frac{4/3}{x - 2} - \frac{1/3}{x + 1} \right) dx$$ Integramos cada término por separado: $$\frac{1}{2} \left[ x + \frac{4}{3} \ln|x - 2| - \frac{1}{3} \ln|x + 1| \right] + C$$ Simplificando la expresión de la primitiva $F(x)$: $$F(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{3} \ln|x - 2| - \frac{1}{6} \ln|x + 1|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Para calcular la integral definida entre $0$ y $1$, aplicamos la Regla de Barrow: $$\int_0^1 \frac{x^2}{2x^2 - 2x - 4} dx = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)$$ Calculamos $F(1)$: $$F(1) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \ln|1 - 2| - \frac{1}{6} \ln|1 + 1| = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \ln(1) - \frac{1}{6} \ln(2)$$ Como $\ln(1) = 0$, tenemos $F(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \ln(2)$. Calculamos $F(0)$: $$F(0) = \frac{0}{2} + \frac{2}{3} \ln|0 - 2| - \frac{1}{6} \ln|0 + 1| = \frac{2}{3} \ln(2) - \frac{1}{6} \ln(1) = \frac{2}{3} \ln(2)$$ Restamos los valores: $$I = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \ln 2 \right) - \left( \frac{2}{3} \ln 2 \right) = \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{6} + \frac{4}{6} \right) \ln 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{6} \ln 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_0^1 \frac{x^2}{2x^2 - 2x - 4} dx = \frac{1}{2} - \frac{5}{6} \ln 2 \approx -0.0776}$$