Límite con parámetro aplicando la regla de L'Hôpital

Para que un límite sea finito cuando el denominador tiende a cero, el numerador también debe tender a cero para evitar que el resultado sea infinito. Analizamos el límite cuando $x \to 0$ de la función: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - e^x + ax}{x \operatorname{sen}(x)}$$ Evaluamos el denominador en $x=0$: $$0 \cdot \operatorname{sen}(0) = 0$$ Evaluamos el numerador en $x=0$: $$\cos(0) - e^0 + a(0) = 1 - 1 + 0 = 0$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **[0/0]**. Para resolverla, aplicaremos la regla de L'Hôpital. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $0/0$ o $\infty/\infty$ derivando el numerador y el denominador por separado: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: - Numerador: $(\cos(3x) - e^x + ax)' = -3\operatorname{sen}(3x) - e^x + a$ - Denominador: $(x \operatorname{sen}(x))' = 1 \cdot \operatorname{sen}(x) + x \cos(x)$ Entonces: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{-3\operatorname{sen}(3x) - e^x + a}{\operatorname{sen}(x) + x \cos(x)}$$ Volvemos a evaluar el denominador en $x=0$: $$\operatorname{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0) = 0$$ Para que el límite sea **finito**, el nuevo numerador también debe ser cero en $x=0$. De lo contrario, el límite resultaría en $\pm \infty$. $$-3\operatorname{sen}(0) - e^0 + a = 0 \implies 0 - 1 + a = 0 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** En límites con parámetros, si el denominador se anula y el enunciado afirma que el límite es finito, el numerador obligatoriamente debe anularse en ese punto para mantener la indeterminación $0/0$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = 1}$$

Sustituimos $a = 1$ en el límite obtenido tras la primera derivada: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{-3\operatorname{sen}(3x) - e^x + 1}{\operatorname{sen}(x) + x \cos(x)}$$ Al evaluar de nuevo, persiste la indeterminación **[0/0]**, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez: - Derivada del numerador: $(-3\operatorname{sen}(3x) - e^x + 1)' = -9\cos(3x) - e^x$ - Derivada del denominador: $(\operatorname{sen}(x) + x \cos(x))' = \cos(x) + (1 \cdot \cos(x) - x \operatorname{sen}(x)) = 2\cos(x) - x\operatorname{sen}(x)$ El límite queda: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{-9\cos(3x) - e^x}{2\cos(x) - x\operatorname{sen}(x)}$$ Ahora evaluamos en $x=0$: $$L = \frac{-9\cos(0) - e^0}{2\cos(0) - 0 \cdot \operatorname{sen}(0)} = \frac{-9(1) - 1}{2(1) - 0} = \frac{-10}{2} = -5$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad L = -5}$$