Haz de planos y planos perpendiculares

**a) [1’5 puntos] Determina la ecuación general del plano que contiene a $r$ y pasa por el origen de coordenadas.** Cualquier plano que contiene a la recta $r$ pertenece al **haz de planos** generado por las dos ecuaciones que definen la recta. La ecuación del haz se escribe como una combinación lineal de los planos que definen $r$: $$\alpha(x + 2y - z - 3) + \beta(2x - y + z - 1) = 0$$ 💡 **Tip:** El haz de planos es la forma más rápida de encontrar un plano que contiene a una recta intersección de otros dos. Solo necesitamos encontrar los valores de $\alpha$ y $\beta$ (o simplemente su relación) imponiendo la condición del punto.

Como el plano debe pasar por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$, sustituimos estas coordenadas en la ecuación del haz: $$\alpha(0 + 2(0) - 0 - 3) + \beta(2(0) - 0 + 0 - 1) = 0$$ $$-3\alpha - \beta = 0 \implies \beta = -3\alpha$$ Para obtener un plano concreto, podemos dar un valor arbitrario a $\alpha$ (distinto de cero). Si tomamos **$\alpha = 1$**, entonces **$\beta = -3$**. Sustituimos estos valores en la ecuación del haz: $$1(x + 2y - z - 3) - 3(2x - y + z - 1) = 0$$ $$x + 2y - z - 3 - 6x + 3y - 3z + 3 = 0$$ $$-5x + 5y - 4z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$\boxed{5x - 5y + 4z = 0}$$

**b) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a $r$ en el punto $(1, 1, 0)$.** Para que un plano $\pi'$ sea perpendicular a la recta $r$, el **vector normal del plano** $\vec{n}_{\pi'}$ debe coincidir con el **vector director de la recta** $\vec{d}_r$. Calculamos $\vec{d}_r$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen $r$: $$\vec{n}_1 = (1, 2, -1) \quad y \quad \vec{n}_2 = (2, -1, 1)$$ $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{d}_r = \vec{i}(2) + \vec{j}(-2) + \vec{k}(-1) - [\vec{k}(4) + \vec{i}(1) + \vec{j}(1)]$$ $$\vec{d}_r = (2-1)\vec{i} + (-2-1)\vec{j} + (-1-4)\vec{k} = (1, -3, -5)$$ Por tanto, el vector normal del plano es $\vec{n}_{\pi'} = (1, -3, -5)$.

La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$1x - 3y - 5z + D = 0$$ Imponemos que pase por el punto $P(1, 1, 0)$: $$1(1) - 3(1) - 5(0) + D = 0 \implies 1 - 3 + D = 0 \implies D = 2$$ La ecuación general del plano es: $$x - 3y - 5z + 2 = 0$$

Para pasar de la ecuación general a las paramétricas, necesitamos un punto y dos vectores directores del plano. Ya tenemos el punto $P(1, 1, 0)$. Buscamos dos vectores $\vec{u}, \vec{v}$ tales que sean perpendiculares al vector normal $\vec{n} = (1, -3, -5)$. Podemos obtenerlos despejando una variable en la ecuación general. Si $x - 3y - 5z + 2 = 0$, entonces $x = -2 + 3y + 5z$. Asignamos parámetros a las variables libres: $$\begin{cases} y = \lambda \\ z = \mu \end{cases}$$ Sustituyendo en $x$: $$x = -2 + 3\lambda + 5\mu$$ Sin embargo, para que el punto $(1, 1, 0)$ aparezca directamente en las ecuaciones (aunque no es obligatorio), podemos usar la estructura $x - x_0 = 3(y - y_0) + 5(z - z_0)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + 3\lambda + 5\mu \\ y = 1 + \lambda \\ z = \mu \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas no son únicas. Cualquier combinación que verifique la ecuación implícita y represente un plano con los mismos vectores directores es válida.